卡尔曼滤波，又称线性二次估计，是统计学和控制理论中的一种算法，用于从随时间观测的一系列测量值中估计未知变量。它考虑统计噪声和其他不准确性，以产生通常比基于单一测量值更准确的估计。该滤波器通过递归方式估计每个时间步上变量的联合概率分布来运作，并以匈牙利出生的工程师鲁道夫·E·卡尔曼命名，他于1960年提出了这一方法。卡尔曼滤波在飞行器、航天器和船舶等载具的制导、导航和控制中得到了广泛应用，同时也用于时间序列分析、信号处理、计量经济学和机器人学。它还被应用于建模中枢神经系统对运动的控制，在其中补偿运动指令与感觉反馈之间的延迟。该算法专为实时操作设计，仅使用当前测量值、先前计算的状态及其不确定性矩阵，无需额外的历史信息。该滤波器在特定条件下是最优的：如果过程和测量协方差已知，且误差具有零均值高斯分布，则它在最小均方误差意义下是最佳线性估计器。扩展形式如扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波可处理非线性系统，且该滤波器已有效用于多传感器融合和分布式传感器网络。该滤波器以匈牙利移民鲁道夫·E·卡尔曼命名，尽管托瓦尔·尼古拉·蒂勒和彼得·斯韦林更早开发了类似算法。理查德·S·布西对理论有所贡献，导致有时使用卡尔曼-布西滤波这一名称。卡尔曼的推导基于状态空间变量，应用于维纳滤波问题。首次实现归功于斯坦利·F·施密特，他在卡尔曼访问NASA艾姆斯研究中心期间意识到该滤波器可适用于非线性问题。这导致该滤波器被纳入阿波罗计划的导航计算机中，仅使用2k磁芯RAM、36k线绳存储器和低于100 kHz的时钟速度。数字滤波也是一种更一般的非线性滤波器的特例，该非线性滤波器由鲁斯兰·斯特拉托诺维奇开发，有时被称为斯特拉托诺维奇-卡尔曼-布西滤波器。该方法最早在斯韦林（1958年）、卡尔曼（1960年）以及卡尔曼和布西（1961年）的论文中描述。卡尔曼滤波在美国海军核弹道导弹潜艇和巡航导弹的导航系统中至关重要，也用于可重复使用运载火箭和在国际空间站对接的航天器的制导、导航和控制。
算法与数学框架
卡尔曼滤波基于具有连续状态空间的隐马尔可夫模型，其中潜在变量和观测变量均服从正态分布。该滤波器通过两个阶段的过程估计动态系统的状态：预测和更新。在预测阶段，滤波器使用系统的动态模型和已知控制输入，将当前状态及其不确定性（协方差）投影到下一个时间步。在更新阶段，滤波器结合受噪声污染的新测量值，以细化估计。细化过程是加权平均，其中权重将更高信任度分配给不确定性较低的来源。权重从协方差矩阵计算得出，产生介于预测状态和测量值之间的新状态估计。该滤波器是递归的，允许以有限内存和计算量进行实时处理。滤波器的最优性在于，当过程和测量噪声为零均值且协方差已知的高斯分布时，卡尔曼滤波是最小均方误差估计器。即使噪声不是高斯的，只要均值和协方差已知，它仍是最小均方误差意义上的最佳线性估计器。一个常见误解是滤波器需要高斯噪声，但它可以更广泛地应用，尽管不是作为最优估计器。
卡尔曼滤波的历史与发展
该滤波方法以鲁道夫·E·卡尔曼命名，他受到启发将状态变量应用于维纳滤波问题。该理论部分由彼得·斯韦林和卡尔曼开发，卡尔曼和布西在1961年对其进行了扩展。斯坦利·F·施密特在阿波罗制导和导航系统工作中，被公认为首次实现者。他将滤波器分为两部分：一部分用于传感器输出之间的时间段，另一部分用于结合测量值。该实现运行在阿波罗导航计算机上，该计算机具有2K核心内存和36k线绳控制内存，中央处理单元由集成电路构建，运行速度低于100 kHz。在如此有限的硬件上运行卡尔曼滤波是一项卓越的工程成就。该滤波器此后在美国海军核弹道巡航导弹的制导和导航中至关重要，包括战斧导弹和空射巡航导弹；它也用于可重复使用运载火箭和在国际空间站对接的航天器。
传感器融合与多模态集成
卡尔曼滤波的一个关键优势是其融合多个传感器数据的能力，也称为传感器融合或数据融合。它基于噪声传感器数据、系统方程近似和其他外部因素产生状态估计。该滤波器有效处理传感器噪声和随机外部扰动带来的不确定性，为跟踪系统提供稳健方法。例如，在车辆导航系统中，滤波器可利用GPS、惯性测量单元读数以及模型来调整估计。在分布式传感器网络中，可构建共识算法，使系统能够协调分散式跟踪。状态估计是预测状态和测量状态的加权平均，权重从表示不确定性的协方差计算得出。这种方法确保更可靠的数据对最终估计有更大影响。
扩展与推广
尽管基本卡尔曼滤波限于线性系统和高斯噪声，但已开发许多扩展来处理非线性。扩展卡尔曼滤波（EKF）通过泰勒级数在当前估计周围线性化系统动态和测量模型，从而适用于非线性环境。无迹卡尔曼滤波（UKF）使用确定性采样技术通过非线性系统传播状态分布，在某些情况下实现更高精度。这些方法应用于机器人学、自主导航和时间序列分析等领域。此外，卡尔曼滤波在计量经济学中用于估计状态空间模型，在信号处理中用于滤波和预测。实际上，滤波器对系统的模型始终是近似，滤波器通过更新步骤纠正误差的能力仍然重要。
外部链接与参考
卡尔曼滤波是工程和社会科学中的基础工具，应用范围广泛，包括自动驾驶、自动驾驶系统和导航软件。其发展受维纳滤波启发，其理论基础与控制理论和信号处理密切相关。在人工智能和机器学习中，概念和非线性扩展与现代状态估计和数据同化相结合，用于训练动态系统。该滤波器也用于中枢神经系统运动控制建模，其中被提议作为大脑处理感觉反馈延迟的机制。