प्रोबेबिलिस्टिक ग्राफिकल मॉडल (PGMs), जिन्हें ग्राफिकल मॉडल या संरचित प्रोबेबिलिस्टिक मॉडल भी कहा जाता है, ऐसे प्रोबेबिलिस्टिक मॉडल हैं जिनमें एक ग्राफ यादृच्छिक चरों के बीच सशर्त निर्भरता संरचना को व्यक्त करता है। इनका व्यापक रूप से प्रायिकता सिद्धांत, सांख्यिकी - विशेष रूप से बायेसियन सांख्यिकी - और मशीन लर्निंग में उपयोग किया जाता है। निर्भरताओं को किनारों के रूप में और स्वतंत्रताओं को ग्राफ पृथक्करण के रूप में एन्कोड करके, PGMs जटिल संयुक्त वितरणों का एक संक्षिप्त प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं, जिससे कई अनुप्रयोगों में अनुमान और सीखना संभव हो जाता है।
मूल विचार एक ग्राफ का उपयोग करके बहुआयामी स्थान पर वितरण का प्रतिनिधित्व करना है, जहाँ नोड यादृच्छिक चरों के अनुरूप होते हैं और किनारे प्रोबेबिलिस्टिक निर्भरताओं को इंगित करते हैं। यह ग्राफ-आधारित गुणनखंडन सशर्त स्वतंत्रताओं के एक समूह को पकड़ता है जो वितरण में मौजूद होती हैं, जिससे सीमांत और सशर्त प्रायिकताओं की कुशल गणना संभव होती है। ग्राफिकल प्रतिनिधित्व की दो मुख्य शाखाएँ मौजूद हैं: बायेसियन नेटवर्क (निर्देशित) और मार्कोव रैंडम फील्ड (अनिर्देशित)। दोनों गुणनखंडन और स्वतंत्रताओं के गुण साझा करते हैं, लेकिन वे जिस प्रकार की स्वतंत्रताओं को एन्कोड कर सकते हैं और वितरण के परिणामी गुणनखंडन में भिन्न होते हैं।
प्रोबेबिलिस्टिक ग्राफिकल मॉडल के प्रकार
बायेसियन नेटवर्क
एक बायेसियन नेटवर्क, जिसे निर्देशित ग्राफिकल मॉडल या विश्वास नेटवर्क भी कहा जाता है, संयुक्त प्रायिकता वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ (DAG) का उपयोग करता है। ऐसे मॉडल में, यादृच्छिक चरों \(X_1, \ldots, X_n\) की संयुक्त प्रायिकता सशर्त वितरणों के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित होती है:
\[ P[X_1, \ldots, X_n] = \prod_{i=1}^n P[X_i \mid \text{pa}(X_i)] \]
जहाँ \(\text{pa}(X_i)\) नोड \(X_i\) के माता-पिता के समूह को दर्शाता है (नोड जिनके किनारे \(X_i\) की ओर निर्देशित हैं)। यह गुणनखंडन दर्शाता है कि कोई भी नोड अपने माता-पिता को देखते हुए अपने गैर-वंशजों से सशर्त रूप से स्वतंत्र है। डी-पृथक्करण की अवधारणा चरों के समूहों के बीच सशर्त स्वतंत्रताओं को निर्धारित करने के लिए एक ग्राफ-सैद्धांतिक मानदंड प्रदान करती है। बायेसियन नेटवर्क में, स्थानीय स्वतंत्रताएँ (माता-पिता-बच्चे के संबंधों पर आधारित) वैश्विक स्वतंत्रताओं (डी-पृथक्करण पर आधारित) के बराबर होती हैं।
क्लासिक मशीन लर्निंग मॉडल जैसे हिडन मार्कोव मॉडल, न्यूरल नेटवर्क और वेरिएबल-ऑर्डर मार्कोव मॉडल को बायेसियन नेटवर्क के विशेष मामले माना जा सकता है। सबसे सरल बायेसियन नेटवर्क में से एक नाइव बेयस क्लासिफायर है, जो वर्ग लेबल को देखते हुए सुविधाओं की सशर्त स्वतंत्रता मानता है।
अनिर्देशित ग्राफिकल मॉडल
अनिर्देशित ग्राफिकल मॉडल, जिन्हें मार्कोव रैंडम फील्ड (MRFs) के रूप में भी जाना जाता है, अनिर्देशित किनारों का उपयोग करके निर्भरताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक अनिर्देशित ग्राफ में, एक किनारे की उपस्थिति संबंधित यादृच्छिक चरों के बीच निर्भरता को दर्शाती है, लेकिन एक किनारे की अनुपस्थिति अन्य सभी चरों को देखते हुए सशर्त स्वतंत्रता को दर्शाती है। उदाहरण के लिए, एक ग्राफ में जहाँ नोड B, C और D सभी केवल नोड A से जुड़े हैं, चर B, C और D, A को देखते हुए सशर्त रूप से स्वतंत्र हैं। संयुक्त प्रायिकता वितरण को तब ग्राफ के क्लिक (पूरी तरह से जुड़े उपसमूह) पर गैर-ऋणात्मक फलनों के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि ग्राफ में किनारे AB, AC और AD हैं, तो संयुक्त वितरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\[ P[A,B,C,D] = f_{AB}[A,B] \cdot f_{AC}[A,C] \cdot f_{AD}[A,D] \]
कुछ गैर-ऋणात्मक फलनों \(f_{AB}, f_{AC}, f_{AD}\) के लिए। यह गुणनखंडन निर्भरताओं की स्थानीय संरचना को दर्शाता है।
चक्रीय निर्देशित ग्राफिकल मॉडल
जबकि बायेसियन नेटवर्क आमतौर पर चक्रीय ग्राफ की आवश्यकता रखते हैं, कुछ मॉडल चक्रों की अनुमति देते हैं। एक चक्रीय निर्देशित ग्राफिकल मॉडल में, प्रत्येक चर अपने माता-पिता पर इस तरह निर्भर हो सकता है जिससे फीडबैक लूप उत्पन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक चक्र वाला ग्राफ एक संयुक्त घनत्व का सुझाव दे सकता है जो इस प्रकार गुणनखंडित होता है:
\[ P[A,B,C,D] = P[A] \cdot P[B] \cdot P[C,D \mid A,B] \]
लेकिन अन्य व्याख्याएँ भी संभव हैं। अनुमान और व्याख्या में जटिलताओं के कारण चक्रीय मॉडल कम सामान्य हैं।
अन्य प्रकार
कई अन्य प्रकार के प्रोबेबिलिस्टिक ग्राफिकल मॉडल बुनियादी ढाँचे का विस्तार करते हैं:
- निर्भरता नेटवर्क: ये चक्रों की अनुमति देते हैं और अन्य सभी चरों को देखते हुए प्रत्येक चर के लिए सशर्त वितरण का प्रतिनिधित्व करते हैं।
- ट्री-ऑगमेंटेड क्लासिफायर (TAN): ये बायेसियन नेटवर्क हैं जो निर्भरताओं को पकड़ने के लिए सुविधाओं के बीच किनारों के साथ एक नाइव बेयस संरचना को बढ़ाते हैं।
- लक्षित बायेसियन नेटवर्क लर्निंग (TBNL): यह एक विशिष्ट लक्ष्य चर के लिए अनुकूलित नेटवर्क सीखने पर केंद्रित है।
- फैक्टर ग्राफ: ये अनिर्देशित द्विभाजीय ग्राफ हैं जो चरों और फैक्टरों को जोड़ते हैं, जहाँ प्रत्येक फैक्टर उन चरों पर एक फलन का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें यह जोड़ता है। फैक्टर ग्राफ बेलिफ प्रसार को लागू करने के लिए उपयोगी हैं।
- क्लिक ट्री या जंक्शन ट्री: ये क्लिक के पेड़ हैं जिनका उपयोग सटीक अनुमान के लिए जंक्शन ट्री एल्गोरिदम में किया जाता है।
- चेन ग्राफ: इन ग्राफों में निर्देशित और अनिर्देशित दोनों किनारे हो सकते हैं लेकिन कोई निर्देशित चक्र नहीं होता, जिससे निर्भरता प्रकारों का मिश्रण संभव होता है।
अनुप्रयोग और महत्व
प्रोबेबिलिस्टिक ग्राफिकल मॉडल Machine learning में मौलिक हैं, जहाँ वे अनिश्चितता के तहत तर्क के लिए एक सैद्धांतिक ढाँचा प्रदान करते हैं। इनका उपयोग Artificial intelligence में Generative AI जैसे कार्यों के लिए किया जाता है, जहाँ Large language model और Transformer (architecture) जैसे मॉडल, हालाँकि अक्सर Neural network पर आधारित होते हैं, प्रोबेबिलिस्टिक लेंस के माध्यम से व्याख्या किए जा सकते हैं। PGMs कंप्यूटर विज़न, प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण, बायोइन्फॉरमैटिक्स और रोबोटिक्स जैसे क्षेत्रों में भी लागू होते हैं। डोमेन ज्ञान को डेटा-संचालित सीखने के साथ संयोजित करने की उनकी क्षमता उन्हें अनुमान और निर्णय लेने दोनों के लिए शक्तिशाली उपकरण बनाती है।
संबंधित अवधारणाएँ
प्रोबेबिलिस्टिक ग्राफिकल मॉडल Deep learning और Neural network से निकटता से संबंधित हैं, क्योंकि कई गहरी वास्तुकलाओं को ग्राफिकल मॉडल के विशेष मामलों के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हिडन मार्कोव मॉडल एक क्लासिक उदाहरण है। Michael I. Jordan और Daphne Koller जैसे शोधकर्ताओं ने PGMs के सिद्धांत और अनुप्रयोग को काफी आगे बढ़ाया है। Generative AI और Large language model में आधुनिक विकास अक्सर प्रोबेबिलिस्टिक सिद्धांतों पर आधारित होते हैं, भले ही उन्हें स्पष्ट रूप से ग्राफिकल मॉडल के रूप में तैयार न किया गया हो।