कलमान फ़िल्टर, जिसे रैखिक द्विघात अनुमान के रूप में भी जाना जाता है, सांख्यिकी और नियंत्रण सिद्धांत में एक एल्गोरिदम है जो समय के साथ देखे गए मापों की एक श्रृंखला से अज्ञात चरों का अनुमान लगाता है। यह सांख्यिकीय शोर और अन्य अशुद्धियों को ध्यान में रखता है ताकि ऐसे अनुमान उत्पन्न किए जा सकें जो आम तौर पर एकल माप पर आधारित अनुमानों से अधिक सटीक होते हैं। फ़िल्टर प्रत्येक समय-चरण के लिए चरों पर एक संयुक्त संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाकर पुनरावर्ती रूप से कार्य करता है, और इसका नाम हंगरी में जन्मे इंजीनियर रुडोल्फ ई. कालमान के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1960 में इस विधि को पेश किया था। कलमान फ़िल्टरिंग का व्यापक उपयोग विमान, अंतरिक्ष यान और जहाजों जैसे वाहनों के मार्गदर्शन, नेविगेशन और नियंत्रण में पाया गया है, साथ ही समय श्रृंखला विश्लेषण, सिग्नल प्रोसेसिंग, अर्थमिति और रोबोटिक्स में भी। यह केंद्रीय तंत्रिका तंत्र द्वारा गति के नियंत्रण के मॉडलिंग में भी लागू किया जाता है, जहाँ यह मोटर कमांड और संवेदी प्रतिक्रिया के बीच देरी की भरपाई करता है। एल्गोरिदम वास्तविक समय के संचालन के लिए डिज़ाइन किया गया है, जो केवल वर्तमान माप, पहले से गणना की गई स्थिति और इसके अनिश्चितता मैट्रिक्स का उपयोग करता है, जिसके लिए किसी अतिरिक्त पिछली जानकारी की आवश्यकता नहीं होती है। फ़िल्टर कुछ शर्तों के तहत इष्टतम है: यदि प्रक्रिया और माप सहप्रसरण ज्ञात हैं और त्रुटियों में शून्य-माध्य गाऊसी वितरण है, तो यह न्यूनतम माध्य-वर्ग-त्रुटि अर्थ में सर्वोत्तम संभव रैखिक अनुमानक है। विस्तारित कलमान फ़िल्टर और अनसेंटेड कलमान फ़िल्टर जैसे विस्तार अरेखीय प्रणालियों को संभालते हैं, और फ़िल्टर का बहु-सेंसर संलयन और वितरित सेंसर नेटवर्क में प्रभावी ढंग से उपयोग किया गया है। फ़िल्टर का नाम रुडोल्फ ई. कालमान के नाम पर रखा गया है, जो एक हंगेरियन प्रवासी थे, हालाँकि थोरवाल्ड निकोलाई थीले और पीटर स्वेरलिंग ने पहले समान एल्गोरिदम विकसित किए थे। रिचर्ड एस. बुसी ने सिद्धांत में योगदान दिया, जिससे कभी-कभी उपयोग किया जाने वाला कलमान-बुसी फ़िल्टर नाम सामने आया। कालमान ने अपनी व्युत्पत्ति वीनर फ़िल्टरिंग समस्या पर लागू राज्य-स्थान चरों पर आधारित की। पहला कार्यान्वयन स्टेनली एफ. श्मिट को श्रेय दिया जाता है, जिन्होंने नासा के एम्स रिसर्च सेंटर में कालमान की यात्रा के दौरान महसूस किया कि फ़िल्टर अरेखीय समस्याओं में फिट हो सकता है। इससे फ़िल्टर को अपोलो कार्यक्रम के मिशन नेविगेशन कंप्यूटर में शामिल किया गया, जिसमें केवल 2k चुंबकीय कोर रैम, 36k वायर रोप मेमोरी और 100 kHz से कम की घड़ी गति का उपयोग किया गया था। डिजिटल फ़िल्टर रुस्लान स्ट्रैटोनोविच द्वारा विकसित एक अधिक सामान्य अरेखीय फ़िल्टर का एक विशेष मामला भी है, और इसे कभी-कभी स्ट्रैटोनोविच-कलमान-बुसी फ़िल्टर के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस विधि का पहली बार स्वेरलिंग (1958), कालमान (1960), और कालमान और बुसी (1961) के पेपरों में वर्णन किया गया था। कलमान फ़िल्टर अमेरिकी नौसेना की परमाणु बैलिस्टिक मिसाइल पनडुब्बियों और क्रूज़ मिसाइलों के नेविगेशन सिस्टम में आवश्यक रहे हैं, साथ ही पुन: प्रयोज्य लॉन्च वाहनों और अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन पर डॉकिंग करने वाले अंतरिक्ष यान के मार्गदर्शन, नेविगेशन और नियंत्रण में भी।
एल्गोरिदम और गणितीय ढांचा
कलमान फ़िल्टर एक सतत राज्य स्थान के साथ एक छिपे हुए मार्कोव मॉडल पर आधारित है, जहाँ अव्यक्त और देखे गए दोनों चर सामान्य वितरण का पालन करते हैं। फ़िल्टर दो-चरणीय प्रक्रिया के माध्यम से एक गतिशील प्रणाली की स्थिति का अनुमान लगाता है: भविष्यवाणी और अद्यतन। भविष्यवाणी चरण में, फ़िल्टर सिस्टम के गतिशील मॉडल और ज्ञात नियंत्रण इनपुट का उपयोग करके वर्तमान स्थिति और इसकी अनिश्चितता (सहप्रसरण) को अगले समय-चरण तक प्रक्षेपित करता है। अद्यतन चरण में, फ़िल्टर एक नया माप शामिल करता है, जो शोर से दूषित होता है, ताकि अनुमान को परिष्कृत किया जा सके। परिष्करण एक भारित औसत है, जहाँ भार कम अनिश्चितता वाले स्रोतों पर अधिक विश्वास प्रदान करते हैं। भार की गणना एक सहप्रसरण मैट्रिक्स से की जाती है, जिससे एक नया राज्य अनुमान उत्पन्न होता है जो भविष्यवाणी की गई स्थिति और मापित मान के बीच स्थित होता है। फ़िल्टर पुनरावर्ती है, जो सीमित मेमोरी और गणना के साथ वास्तविक समय प्रसंस्करण की अनुमति देता है। फ़िल्टर की इष्टतमता यह है कि, जब प्रक्रिया और माप शोर शून्य-माध्य और गाऊसी होते हैं जिनमें ज्ञात सहप्रसरण होते हैं, तो कलमान फ़िल्टर न्यूनतम माध्य-वर्ग त्रुटि अनुमानक होता है। भले ही शोर गाऊसी न हो, यह न्यूनतम माध्य-वर्ग त्रुटि अर्थ में सर्वोत्तम रैखिक अनुमानक बना रहता है, बशर्ते माध्य और सहप्रसरण ज्ञात हों। एक आम गलतफहमी यह है कि फ़िल्टर को गाऊसी शोर की आवश्यकता होती है, लेकिन इसे अधिक व्यापक रूप से लागू किया जा सकता है, हालाँकि इष्टतम अनुमानक के रूप में नहीं।
कलमान फ़िल्टर का इतिहास और विकास
फ़िल्टरिंग विधि का नाम रुडोल्फ ई. कालमान के नाम पर रखा गया है, जो वीनर फ़िल्टरिंग समस्या पर राज्य चर लागू करने से प्रेरित थे। सिद्धांत आंशिक रूप से पीटर स्वेरलिंग और कालमान द्वारा विकसित किया गया था, जिसमें कालमान और बुसी ने 1961 में इसे विस्तारित किया। स्टेनली एफ. श्मिट, जो अपोलो मार्गदर्शन और नेविगेशन सिस्टम पर काम कर रहे थे, को पहला कार्यान्वयन करने का श्रेय दिया जाता है। उन्होंने फ़िल्टर को दो भागों में विभाजित किया: एक सेंसर आउटपुट के बीच के समय अंतराल के लिए और दूसरा मापों को शामिल करने के लिए। यह कार्यान्वयन अपोलो नेविगेशन कंप्यूटर पर चला, जिसमें 2K-कोर मेमोरी और 36k वायर रोप कंट्रोल मेमोरी थी, जिसमें एक केंद्रीय प्रसंस्करण इकाई एकीकृत सर्किट से बनी थी जो 100 kHz से कम पर चलती थी। इतने सीमित हार्डवेयर पर कलमान फ़िल्टर चलाने की क्षमता एक उल्लेखनीय इंजीनियरिंग उपलब्धि थी। तब से फ़िल्टर अमेरिकी नौसेना की परमाणु बैलिस्टिक क्रूज़ मिसाइलों, जिसमें टोमाहॉक मिसाइल और एयर-लॉन्च क्रूज़ मिसाइल शामिल हैं, के मार्गदर्शन और नेविगेशन में आवश्यक रहा है; इसका उपयोग पुन: प्रयोज्य लॉन्चरों और अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन पर डॉकिंग करने वाले अंतरिक्ष यान में भी किया जाता है।
सेंसर संलयन और बहु-मोडल एकीकरण
कलमान फ़िल्टर की एक प्रमुख ताकत कई सेंसरों से डेटा को संलयित करने की क्षमता है, जिसे सेंसर संलयन या डेटा संलयन भी कहा जाता है। यह शोरगुल वाले सेंसर डेटा, सिस्टम समीकरणों में सन्निकटन और अन्य बाहरी कारकों के आधार पर एक राज्य अनुमान उत्पन्न करता है। फ़िल्टर सेंसर शोर और यादृच्छिक बाहरी गड़बड़ी से अनिश्चितता से प्रभावी ढंग से निपटता है, जो ट्रैकिंग सिस्टम के लिए एक मजबूत विधि प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, एक वाहन नेविगेशन सिस्टम में, फ़िल्टर अनुमानों को समायोजित करने के लिए जीपीएस, जड़त्वीय माप इकाई रीडिंग और मॉडल का लाभ उठा सकता है। वितरित सेंसर नेटवर्क में, सर्वसम्मति एल्गोरिदम बनाए जा सकते हैं, जिससे सिस्टम विकेंद्रीकृत ट्रैकिंग का समन्वय कर सकते हैं। राज्य अनुमान भविष्यवाणी की गई स्थिति और माप स्थितियों का एक भारित माध्य है, जिसमें भार की गणना सहप्रसरण से की जाती है, जो अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करता है। यह दृष्टिकोण सुनिश्चित करता है कि अधिक विश्वसनीय डेटा का अंतिम अनुमान पर बड़ा प्रभाव पड़ता है।
विस्तार और सामान्यीकरण
हालाँकि मूल कलमान फ़िल्टर गाऊसी शोर के साथ रैखिक प्रणालियों तक सीमित है, अरेखीयताओं को संभालने के लिए कई विस्तार विकसित किए गए हैं। विस्तारित कलमान फ़िल्टर (EKF) वर्तमान अनुमान के आसपास टेलर श्रृंखला के माध्यम से सिस्टम गतिशीलता और माप मॉडल को रैखिक करता है, जिससे अरेखीय संदर्भों में सक्षम बनता है। अनसेंटेड कलमान फ़िल्टर (UKF) एक अरेखीय प्रणाली के माध्यम से राज्य वितरण को प्रसारित करने के लिए एक नियतात्मक नमूना तकनीक का उपयोग करता है, जो कुछ मामलों के लिए बेहतर सटीकता प्राप्त करता है। ये विधियाँ Robotics, स्वायत्त नेविगेशन और समय श्रृंखला विश्लेषण जैसे क्षेत्रों में लागू की जाती हैं। इसके अतिरिक्त, कलमान फ़िल्टर का उपयोग अर्थमिति में राज्य स्थान मॉडल का अनुमान लगाने और सिग्नल प्रोसेसिंग में फ़िल्टरिंग और भविष्यवाणी के लिए किया जाता है। वास्तव में, फ़िल्टर का सिस्टम का मॉडल हमेशा एक सन्निकटन होता है, और अद्यतन चरण के माध्यम से त्रुटि को सुधारने की फ़िल्टर की क्षमता अभी भी महत्वपूर्ण है।
बाहरी लिंक और संदर्भ
कलमान फ़िल्टर इंजीनियरिंग और सामाजिक विज्ञान में एक मौलिक उपकरण है, जिसमें स्वायत्त ड्राइविंग, ऑटोपायलट सिस्टम और नेविगेशन सॉफ्टवेयर सहित अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है। इसका विकास वीनर फ़िल्टर से प्रेरित था, और इसका सैद्धांतिक आधार नियंत्रण सिद्धांत और सिग्नल प्रोसेसिंग से गहराई से जुड़ा हुआ है। कृत्रिम बुद्धिमत्ता और मशीन लर्निंग में, अवधारणाएँ और अरेखीय विस्तार गतिशील प्रणालियों के प्रशिक्षण के लिए आधुनिक राज्य अनुमान और डेटा समामेलन के साथ एकीकृत होते हैं। फ़िल्टर का उपयोग मोटर नियंत्रण के लिए केंद्रीय तंत्रिका तंत्र मॉडलिंग में भी किया जाता है, जहाँ इसे संवेदी प्रतिक्रिया में देरी को संभालने के लिए मस्तिष्क के लिए एक तंत्र के रूप में प्रस्तावित किया गया है।