Le filtre de Kalman, également connu sous le nom d'estimation quadratique linéaire, est un algorithme en statistique et en théorie du contrôle qui estime des variables inconnues à partir d'une série de mesures observées dans le temps. Il prend en compte le bruit statistique et d'autres imprécisions pour produire des estimations généralement plus précises que celles basées sur une seule mesure. Le filtre fonctionne de manière récursive en estimant une distribution de probabilité conjointe sur les variables pour chaque pas de temps, et il est nommé d'après l'ingénieur d'origine hongroise Rudolf E. Kálmán, qui a introduit la méthode en 1960. Le filtrage de Kalman a trouvé une utilisation répandue dans le guidage, la navigation et le contrôle de véhicules, tels que les avions, les engins spatiaux et les navires, ainsi que dans l'analyse de séries temporelles, le traitement du signal, l'économétrie et la robotique. Il est également appliqué pour modéliser le contrôle du mouvement par le système nerveux central, où il compense les délais entre les commandes motrices et les retours sensoriels. L'algorithme est conçu pour une opération en temps réel, utilisant uniquement la mesure présente, l'état précédemment calculé et sa matrice d'incertitude, sans nécessiter d'informations passées supplémentaires. Le filtre est optimal sous certaines conditions : si les covariances du processus et de la mesure sont connues et si les erreurs ont une distribution gaussienne de moyenne nulle, il est le meilleur estimateur linéaire possible au sens de l'erreur quadratique moyenne minimale. Des extensions telles que le filtre de Kalman étendu et le filtre de Kalman sans parfum traitent des systèmes non linéaires, et le filtre a été utilisé efficacement dans la fusion multi-capteurs et les réseaux de capteurs distribués. Le filtre est nommé d'après Rudolf E. Kálmán, un émigré hongrois, bien que Thorvald Nicolai Thiele et Peter Swerling aient développé des algorithmes similaires plus tôt. Richard S. Bucy a contribué à la théorie, conduisant au nom parfois utilisé de filtre de Kalman-Bucy. Kálmán a basé sa dérivation sur des variables d'état appliquées au problème du filtrage de Wiener. La première implémentation est attribuée à Stanley F. Schmidt, qui a réalisé que le filtre pouvait s'adapter à des problèmes non linéaires lors d'une visite de Kálmán au centre de recherche Ames de la NASA. Cela a conduit à l'incorporation du filtre dans l'ordinateur de navigation de mission du programme Apollo, utilisant seulement 2k de mémoire RAM à noyau magnétique, 36k de mémoire à fil torsadé, et une vitesse d'horloge inférieure à 100 kHz. Le filtre numérique est également un cas particulier d'un filtre non linéaire plus général développé par Ruslan Stratonovich, et il est parfois appelé filtre de Stratonovich-Kalman-Bucy. La méthode a été décrite pour la première fois dans des articles de Swerling (1958), Kalman (1960) et Kalman et Bucy (1961). Les filtres de Kalman ont été essentiels dans les systèmes de navigation des sous-marins nucléaires lanceurs de missiles balistiques de la marine américaine et des missiles de croisière, ainsi que dans le guidage, la navigation et le contrôle de lanceurs réutilisables et de vaisseaux spatiaux s'arrimant à la Station spatiale internationale.
Algorithme et cadre mathématique
Le filtre de Kalman repose sur un modèle de Markov caché avec un espace d'état continu, où les variables latentes et observées suivent des distributions normales. Le filtre estime l'état d'un système dynamique par un processus en deux phases : la prédiction et la mise à jour. Dans la phase de prédiction, le filtre utilise le modèle dynamique du système et les entrées de contrôle connues pour projeter l'état actuel et son incertitude (covariance) vers le pas de temps suivant. Dans la phase de mise à jour, le filtre intègre une nouvelle mesure, corrompue par le bruit, pour affiner l'estimation. L'affinement est une moyenne pondérée, où les poids attribuent une confiance plus élevée aux sources avec une incertitude plus faible. Les poids sont calculés à partir d'une matrice de covariance, conduisant à une nouvelle estimation d'état qui se situe entre l'état prédit et la valeur mesurée. Le filtre est récursif, ce qui permet un traitement en temps réel avec une mémoire et un calcul limités. L'optimalité du filtre est que, lorsque les bruits de processus et de mesure ont une moyenne nulle et sont gaussiens avec des covariances connues, le filtre de Kalman est l'estimateur d'erreur quadratique moyenne minimale. Même si le bruit n'est pas gaussien, il reste le meilleur estimateur linéaire au sens de l'erreur quadratique moyenne minimale, à condition que les moyennes et les covariances soient connues. Une idée fausse courante est que le filtre nécessite des bruits gaussiens, mais il peut être appliqué plus largement, bien que pas comme un estimateur optimal.
Histoire et développement du filtre de Kalman
La méthode de filtrage est nommée d'après Rudolf E. Kálmán, qui a été inspiré pour appliquer des variables d'état au problème du filtrage de Wiener. La théorie a été développée en partie par Peter Swerling et Kalman, avec Kalman et Bucy l'étendant en 1961. Stanley F. Schmidt, travaillant sur le système de guidage et de navigation Apollo, est crédité de la première implémentation. Il a divisé le filtre en deux parties : une pour les périodes entre les sorties des capteurs et une autre pour incorporer les mesures. Cette implémentation fonctionnait sur l'ordinateur de navigation Apollo, qui avait une mémoire centrale de 2K et une mémoire à fil torsadé de 36k, avec une unité centrale fonctionnant à moins de 100 kHz. La capacité de faire fonctionner un filtre de Kalman sur un matériel aussi limité était une réalisation d'ingénierie remarquable. Le filtre a depuis été essentiel dans le guidage et la navigation des missiles de croisière balistiques nucléaires de la marine américaine, y compris le missile Tomahawk et le missile de croisière lancé par air ; il est également utilisé dans les lanceurs réutilisables et les vaisseaux spatiaux qui s'amarrent à la Station spatiale internationale.
Fusion de capteurs et intégration multi-modale
Une force clé du filtre de Kalman est sa capacité à fusionner les données de plusieurs capteurs, également connue sous le nom de fusion de capteurs. Il produit une estimation d'état basée sur des données de capteurs bruitées, des approximations dans les équations du système et d'autres facteurs externes. Le filtre gère efficacement l'incertitude due au bruit des capteurs et aux perturbations externes aléatoires, fournissant un système robuste pour le suivi. Par exemple, dans un système de navigation de véhicule, le filtre peut exploiter le GPS, les lectures de l'unité de mesure inertielle et les modèles pour ajuster les estimations. Dans les réseaux de capteurs distribués, des algorithmes de consensus peuvent être construits pour permettre un suivi décentralisé. L'estimation de l'état est une moyenne pondérée de l'état prédit et des mesures, les poids étant calculés à partir de la covariance, qui représente l'incertitude. Cette approche garantit que les sources plus fiables ont un plus grand effet sur l'estimation finale.
Historique et développement du filtre de Kalman
Le filtre est nommé d'après Rudolf E. Kálmán, qui s'est inspiré de l'application des variables d'état au problème du filtrage de Wiener. La théorie a été développée en partie par Peter Swerling et Kalman, Kalman et Bucy l'ayant étendue en 1961. Stanley F. Schmidt, travaillant sur le système de guidage et de navigation Apollo, est crédité de la première implémentation. Il a divisé le filtre en deux parties : une pour les périodes entre les sorties des capteurs et une autre pour intégrer les mesures. Cette implémentation fonctionnait sur l'ordinateur de navigation Apollo, qui disposait d'une mémoire à noyau de 2K et d'une mémoire de contrôle à fil torsadé de 36k, avec une unité centrale de traitement fonctionnant à moins de 100 kHz. La capacité de faire fonctionner un filtre de Kalman sur un matériel aussi limité a été une réalisation d'ingénierie remarquable. Depuis, le filtre a été essentiel dans le guidage et la navigation des missiles de croisière balistiques nucléaires de la marine américaine, y compris le missile Tomahawk et le missile de croisière lancé depuis les airs ; il est également utilisé dans les lanceurs réutilisables et les engins spatiaux qui s'amarrent à la Station spatiale internationale.
Fusion de capteurs et intégration multi-modale
Une force clé du filtre de Kalman est sa capacité à fusionner les données de plusieurs capteurs, également connue sous le nom de fusion de capteurs ou fusion de données. Il produit une estimation d'état basée sur des données de capteurs bruitées, des approximations du modèle du système et d'autres facteurs externes. Le filtre gère efficacement les incertitudes, fournissant une méthode robuste pour le suivi. Par exemple, dans un système de navigation de véhicule, le filtre peut combiner les lectures d'un système de navigation inertielle, les signaux GPS et les modèles de mouvement du véhicule pour produire une estimation plus précise de la position et de la vitesse. Dans les réseaux de capteurs distribués, des algorithmes de consensus peuvent être intégrés pour permettre une estimation coopérative de l'état. L'estimation d'état est une pondération entre l'état prédit et les mesures, où les poids sont déterminés par les incertitudes respectives.
Fusion de capteurs et intégration multi-modale
Une force clé du filtre de Kalman est sa capacité à fusionner les données de plusieurs capteurs, également connue sous le nom de fusion de capteurs. Il produit une estimation d'état qui tient compte du bruit des capteurs, des approximations dans les équations du système et d'autres facteurs externes. Par exemple, dans un véhicule, le filtre peut combiner les données du GPS, des centrales inertielles et des capteurs de vitesse pour fournir une position et une vitesse estimées plus précises. Dans les réseaux de capteurs distribués, le filtre peut être utilisé pour coordonner le suivi décentralisé. L'estimation d'état est une combinaison pondérée de l'état prédit et des mesures, où les poids sont déterminés par les incertitudes respectives.
Extensions et non-linéarités
Le filtre de Kalman de base est limité aux systèmes linéaires, mais de nombreuses extensions ont été développées pour traiter les systèmes non linéaires. Le filtre de Kalman étendu linéarise le système autour de l'estimation actuelle en utilisant des dérivées partielles (matrices jacobiennes). Le filtre de Kalman sans parfum (UKF) utilise une transformation sans parfum pour propager la distribution d'état à travers les non-linéarités, ce qui peut être plus précis que le filtre étendu. Ces méthodes sont largement utilisées dans la navigation autonome, le traitement du signal et l'économétrie. En réalité, le modèle du système est toujours une approximation, et la capacité du filtre à corriger les erreurs par l'étape de mise à jour reste cruciale.
Liens externes et références
Le filtre de Kalman est un outil fondamental en ingénierie et en sciences sociales, avec une large gamme d'applications. Son développement a été inspiré par le filtre de Wiener, et sa base théorique est profondément liée à la théorie du contrôle et au traitement du signal. Dans l'apprentissage automatique et l'intelligence artificielle, les concepts et les extensions non linéaires sont intégrés à l'estimation d'état moderne et à l'assimilation de données pour l'entraînement de systèmes dynamiques. Le filtre est également utilisé dans la modélisation du contrôle moteur par le système nerveux central, où il est proposé comme un mécanisme permettant au cerveau de compenser les délais dans le retour sensoriel.