수학적 분해 다이어그램 생성기

// ═══ 파트 A: 보존 전단사 ═══ // 분해는 "물체를 부수는 것"이 아니다. 그것은 역함수를 가진 매핑이다. A = {a₁ … aₙ}를 조립된 물체의 부품 (왼쪽 패널) K = {k₁ … kₘ}를 놓인 레이아웃의 슬롯 (오른쪽 패널) φ : A → K, φ(aᵢ) = 부품 aᵢ가 차지하는 슬롯으로 정의 분해 공리: φ는 전단사이다 (i) 단사 - 두 부품이 같은 슬롯을 공유하지 않는다 (ii) 전사 - 빈 슬롯이 없고, 배치되지 않은 부품이 없다 ⇒ n = m 정확히 일치한다. 결론 1 (고아 없음): ∀a ∈ A, ∃k ∈ K : φ(a) = k 결론 2 (유령 없음): ∀k ∈ K, ∃a ∈ A : φ(a) = k 결론 3 (완전한 분해): ∀ aᵢ, aⱼ ∈ A : φ(aᵢ) ≠ φ(aⱼ) ∧ ¬subassembly_intact(aᵢ, aⱼ) // 오른쪽 패널에서 두 부품이 여전히 하나의 단위로 접촉하고 있다면, 분해는 불완전하다 검증: checksum_left = Σ mass(aᵢ) over A checksum_right = Σ mass(kⱼ) over K assert checksum_left == checksum_right // 질량도 보존된다, 개수만이 아니다 // ═══ 파트 B: 분류 격자 해석기 ═══ // A가 주어졌을 때, 모든 하드 제약 조건을 충족하면서 레이아웃 목적 함수를 최적화하는 // 좌표 할당 c : A → ℝ²를 찾는다. 하드 제약 조건 (양보 불가): C1 ∀i≠j : rect(c(aᵢ), dims(aᵢ)) ∩ rect(c(aⱼ), dims(aⱼ)) = ∅ // 겹침 없음 C2 ∀i : clearance(c(aᵢ), nearest_neighbor) ≥ g_min // 최소 간격 C3 ∀i : rotation(aᵢ) ∈ {0°, 90°} // 90° 정렬 C4 tier(aᵢ) < tier(aⱼ) ⇒ y(c(aᵢ)) < y(c(aⱼ)) // 계층 순서 위→아래 C5 same_class(aᵢ,aⱼ) ⇒ aligned_to_shared_column(aᵢ,aⱼ) // 동일 부품은 열로 정렬 C6 aspect_ratio(bounding_box(K)) ∈ [0.9, 1.6] // 오른쪽 패널에 맞음 소프트 목적 함수 (최대화): J(c) = 0.34 · row_regularity(c) // 행이 공통 기준선 레일을 공유 + 0.24 · tier_readability(c) // 계층 밴드가 시각적으로 구분되고, 간격이 명확 + 0.18 · size_gradient(c) // 계층 내: 큰 것 → 작은 것, 왼쪽 → 오른쪽 + 0.12 · symmetry_balance(c) // 시각적 질량이 수직 축을 기준으로 균형 + 0.12 · compactness(c) // 낭비되는 공간 최소화; 넉넉하지만 과하지 않게 해석기: 1. 모든 aᵢ를 T1…T5로 분류 (구성상 C4 충족) 2. 각 계층 내에서 (-area, name) 순으로 정렬 (C5 충족, size_gradient 향상) 3. 행을 왼쪽→오른쪽으로 pitch p로 채우고, 패널 너비에서 줄바꿈 4. 계층 사이에 간격 = 2p 삽입 (tier_readability 향상) 5. 각 행을 수직 축에 대해 중앙 정렬 (symmetry_balance 향상) 6. J(c)가 수렴할 때까지: 간격을 균일하게 하기 위해 행 레일을 따라 부품을 미세 조정 (row_regularity 향상) 모든 미세 조정 후 C1, C2 재확인 (J를 위해 하드 제약 조건을 절대 희생하지 않음) // ═══ 파트 C: 이것이 "조직된 혼돈"보다 나은 이유 ═══ // "조직된 혼돈"은 반증 불가능하다 - 어떤 흩어짐도 그것을 충족한다고 주장할 수 있다. // 해석된 격자는 반증 가능하다: C1–C6는 성립하거나 성립하지 않으며, // J(c)는 배치가 얼마나 좋은지 알려준다. // 결과는 엔지니어링된 것으로 읽힌다, 왜냐하면 그렇게 만들어졌기 때문이다. RENDER: {{SUBJECT}}. φ를 풀고, 그 다음 c를 풀어라. 두 개의 전단사, 하나의 분해 플레이트.