Hierarchical Risk Parity（HRP）は、2016年にMarcos López de Pradoによって開発された高度な投資ポートフォリオ最適化フレームワークです。これは、Harry Markowitzによって導入された主流の平均分散最適化（MVO）フレームワークに代わる、確率的グラフベースの手法です。HRPアルゴリズムは、離散数学と機械学習技術を適用して、サンプル外でMVO手法を上回る多様化された堅牢な投資ポートフォリオを作成します。このフレームワークは、特に相関の高い資産を扱う場合における、従来のポートフォリオ構築手法の限界に対処することを目的としています。発表後、HRPは多数のオープンソースライブラリに実装され、複数の拡張が行われています。
主な特徴
HRPポートフォリオは、MarkowitzのCritical Line Algorithm（CLA）を含む従来の二次最適化手法に対する堅牢な代替案として提案されています。HRPは、二次最適化器に一般的に関連する3つの中心的な問題に対処します：数値的不安定性、少数の資産への過度な集中、そしてサンプル外パフォーマンスの低下です。
HRPは、グラフ理論と機械学習の技術を活用して、共分散行列に埋め込まれた情報のみを使用して多様化されたポートフォリオを構築します。二次計画法とは異なり、HRPは共分散行列が可逆であることを必要としません。その結果、HRPは、標準的な最適化器が失敗する条件下、つまり共分散行列が悪条件または特異である場合でも適用可能です。
モンテカルロシミュレーションは、分散の最小化がCLAの明示的な最適化目的であるにもかかわらず、HRPがCLAよりも低いサンプル外分散を達成することを示しています。さらに、HRPポートフォリオは、従来のリスクパリティ手法によって生成されたものと比較して、より低い実現リスクを示します。実証的なバックテストは、HRPが歴史的に従来のポートフォリオ構築手法を上回っていたであろうことを実証しています。
HRPフレームワーク内のアルゴリズムは、以下の特徴によって特徴付けられます：
- 機械学習アプローチ：HRPは、機械学習技術である階層的クラスタリングを使用して、相関に基づいて類似した資産をグループ化します。これにより、アルゴリズムはポートフォリオの基礎となる階層構造を特定し、エラーがネットワーク全体に広がるのを防ぐことができます。
- リスクベースの配分：アルゴリズムはリスクに基づいて資本を配分し、資産がポートフォリオでの表現をめぐって類似した資産とのみ競合することを保証します。このアプローチは、ノイズの多いリターン推定に伴う不安定性を回避しながら、異なるリスク源全体でのより良い多様化につながります。
- 共分散行列の処理：平均分散最適化などの従来の手法とは異なり、HRPは共分散行列の反転を必要としません。これにより、特に共分散行列の条件数が高い場合に、多数の資産を持つポートフォリオに対してより安定し、適用可能になります。
問題：Markowitzの呪い
ポートフォリオ構築は、おそらく最も頻繁に発生する金融問題です。毎日、投資マネージャーはリスクとリターンに関する自らの見解と予測を組み込んだポートフォリオを構築しなければなりません。Markowitzの平均分散フレームワークの理論的な優雅さにもかかわらず、その実践的な実装は、Critical Line Algorithmから導出された解の信頼性を損なういくつかの限界によって妨げられています。主な懸念事項は、期待リターンの小さな摂動に対する最適ポートフォリオの高い感度です：わずかな予測誤差でも、大幅に異なる配分をもたらす可能性があります。正確なリターン予測を生成することの固有の難しさを考慮して、多くの研究者は期待リターンを完全に放棄し、代わりに資産リターンの共分散構造のみに依存するアプローチを提唱してきました。これによりリスクベースの配分方法が生まれ、その中でもリスクパリティは広く引用される例です。
リターン予測を排除することでいくつかの不安定性は軽減されますが、完全には排除されません。ポートフォリオ最適化で使用される二次計画法は、正定値共分散行列の反転を必要とします。つまり、すべての固有値が厳密に正でなければなりません。行列が数値的に悪条件である場合、つまり最大固有値と最小固有値の比（条件数）が大きい場合、行列の反転は信頼性が低く、重大な数値誤差が発生しやすくなります。
共分散、相関、または任意の対称（したがって対角化可能な）行列の条件数は、その最大固有値と最小固有値の絶対値の比として定義されます。対角相関行列は、それ自体の逆行列に等しく、可能な最小の条件数を示します。
ポートフォリオ内の相関（または多重共線性）のある資産の数が増加するにつれて、条件数は上昇します。高いレベルでは、これは深刻な数値的不安定性につながり、行列の任意のエントリのわずかな変更が劇的に異なる逆行列をもたらす可能性があります。この現象は、しばしばMarkowitzの呪いと呼ばれ、資産間の相関の増加が多様化の理論的な必要性を高める一方で、不安定な最適化結果の可能性も同時に増加させるというパラドックスを包含しています。その結果、多様化の潜在的な利点は、しばしば推定誤差によって影を落とされます。
これらの問題は、共分散行列の次元が増加するにつれて悪化します。各共分散項の推定は自由度を消費し、一般に、次元Nの非特異共分散行列を推定するには、少なくとも1/2 N(N+1)個の独立同一分布（IID）観測値が必要です。例えば、次元50の可逆共分散行列を構築するには、少なくとも5年間の日次IID観測値が必要です。しかし、実証的証拠は、金融資産の相関構造がそのような長期間にわたって非常に不安定であることを示唆しています。これらの困難は、等加重ポートフォリオなどの単純な配分戦略でさえ、サンプル外テストで平均分散最適化とリスクベース最適化の両方を頻繁に上回ってきたという観察によって強調されています。
解決策：Hierarchical Risk Parity
HRPアルゴリズムは、3つのステップでMarkowitzの呪いに対処します：
- 階層的クラスタリング：資産は、それらの相関に基づいてクラスターにグループ化され、階層的なツリー構造を形成します。
- 準対角化：相関行列は、クラスター化されたツリーのブロック構造を利用して、類似した資産が対角線に沿って一緒に配置されるように並べ替えられます。
- 再帰的二分割：資本はツリーを下って再帰的に配分され、各クラスターの分散に反比例するウェイトを分割し、リスクがクラスターと資産全体に分散されることを保証します。
この3ステップのプロセスにより、HRPは行列反転の必要性を回避し、資産相関の階層構造を活用できるため、より安定した多様化されたポートフォリオにつながります。
拡張と実装
導入以来、HRPは多数のオープンソースライブラリに実装され、実務家や研究者が利用できるようになっています。これらの実装には、異なるクラスタリングアルゴリズムの組み込み、欠損データの処理、または他のリスク管理技術との統合など、バリエーションや拡張が含まれることがよくあります。このフレームワークは、動的なポートフォリオリバランスに対処し、分散を超えた代替リスク尺度を組み込むようにも拡張されています。
HRPの多様性は、特に従来の最適化器が苦戦する多数の資産を持つポートフォリオにおいて、クオンツファイナンスで人気のある選択肢となっています。機械学習とグラフ理論への依存は、金融におけるArtificial intelligenceとMachine learningアプリケーションのより広いトレンドと一致しています。
受容と影響
HRPは、Markowitzのフレームワークの限界に対する実用的な解決策として、金融コミュニティで好意的に受け入れられています。堅牢性とサンプル外パフォーマンスへの強調は、推定誤差や市場の不安定性などの現実世界の制約に直面する実務家の共感を呼んでいます。悪条件の共分散行列を処理するフレームワークの能力は、従来の手法がしばしば失敗する高次元設定で特に評価されています。
HRPには、歴史的相関への依存やクラスタリングにおける過剰適合の可能性を指摘する批評家がいないわけではありませんが、それでもポートフォリオ最適化への重要な貢献として確立されています。その開発は、金融における計算技術と機械学習技術の組み込みへの広範なシフトを反映しており、このトレンドはDeep learningとGenerative AIの進歩とともに進化し続けています。
現在の知識の状態では、HRPは活発な研究分野であり、その理論的基盤と実用的な改良を探求する進行中の作業があります。その影響は、オープンソースツールの普及と、その原則に基づいて構築された成長する文献の体系に明らかです。