位置・尺度・形状に関する一般化加法モデル（GAMLSS）は、応答変数の分布の全パラメータ（平均だけでなく）を予測変数の滑らかな関数としてモデル化できるようにすることで、一般化加法モデル（GAM）を拡張した統計モデリングの枠組みである。2005年にR. A. RigbyとD. M. Stasinopoulosによって開発されたGAMLSSは、応答変数が非正規分布に従う場合や、平均のみのモデルでは捉えられない不均一分散、歪度、尖度を示す場合の回帰分析に対して柔軟なアプローチを提供する。
この枠組みは、応答変数がパラメトリック分布に従うと仮定し、各分布パラメータ（例：位置、尺度、形状）が単調なリンク関数を介して線形予測子に結び付けられる。線形予測子には、線形項、多項式項、平滑化スプライン、ランダム効果、その他の加法成分を含めることができる。推定は通常、ペナルティ付き尤度アプローチを用いて行われ、多くの場合、RS（Rigby and Stasinopoulos）またはCG（Cole and Green）アルゴリズムを使用して、滑らかな項の粗さにペナルティを課しながら尤度を反復的に最大化する。
モデル仕様
GAMLSSでは、応答変数\(Y\)が分布関数\(F_Y(y|\theta)\)を持つと仮定される。ここで\(\theta = (\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_p)\)は\(p\)個の分布パラメータのベクトルである。各パラメータ\(\theta_k\)について、モデルは次のように指定される：
\[ g_k(\theta_k) = \eta_k = X_k \beta_k + \sum_{j=1}^{J_k} s_{kj}(x_{kj}) \]
ここで\(g_k\)は単調リンク関数、\(X_k\)は固定効果の計画行列、\(\beta_k\)は係数、\(s_{kj}\)は共変量\(x_{kj}\)の滑らかな関数である。パラメータ数\(p\)は選択した分布に依存する。例えば、正規分布には2つのパラメータ（平均と標準偏差）があり、Box-Cox t分布には4つ（位置、尺度、歪度、尖度）がある。
推定とアルゴリズム
GAMLSSのパラメータは、ペナルティ付き尤度関数を最大化することによって推定される。ペナルティ項は加法関数の滑らかさを制御し、過適合を防ぐ。主に2つのアルゴリズムが使用される：
- RSアルゴリズム：GAM用のバックフィッティングアルゴリズムの一般化であり、パラメータを順に循環させ、他のパラメータを固定したまま各パラメータを更新する。パラメータが直交またはほぼ直交する分布に適している。
- CGアルゴリズム：ニュートン・ラフソン法に基づき、すべてのパラメータを同時に更新する。パラメータが相関する分布に対してより効率的であるが、安定性が劣る場合がある。
両アルゴリズムとも、赤池情報量基準（AIC）や一般化交差検証（GCV）などの基準を用いて平滑化パラメータを自動選択できる。Rプログラミング言語のgamlssパッケージは、これらの方法の包括的な実装を提供し、幅広い分布と加法項を含む。
応用
GAMLSSは、応答変数が非一定の分散や非正規の形状を示す多様な分野で応用されている。医学では、成長曲線や基準区間の構築に使用され、測定値（例：体格指数、血圧）の分布が年齢とともに変化する。金融では、市場状況に応じて変動するボラティリティやリスク指標をモデル化する。生態学では、過分散やゼロ過剰を示す種の豊度データを分析する。尺度パラメータと形状パラメータをモデル化する柔軟性により、GAMLSSは分位点回帰や、重い裾や非対称分布を持つデータの分析に特に有用である。
他のモデルとの関係
GAMLSSは既存のいくつかのモデルを一般化する。位置パラメータのみがモデル化され、分布が一定分散の正規分布と仮定される場合、GAMLSSは標準的なGAMに帰着する。加法項が線形の場合、位置・尺度・形状に関する一般化線形モデル（GLM）になる。この枠組みは、分布の全パラメータを共変量に回帰する分布回帰も包含する。これは、分布パラメータをモデル化できる深層学習やニューラルネットワークなどの現代の機械学習アプローチと関連するが、GAMLSSは解釈可能性と統計的推論の特性を保持している。
ソフトウェアと実装
GAMLSSの主要なソフトウェアはRのgamlssパッケージであり、2005年に初版がリリースされ、継続的に更新されている。モデルの適合、診断、可視化、分布と平滑化項の選択のための関数が含まれている。このパッケージは、連続型、離散型、混合型を含む多数の分布をサポートしている。Pythonや他の統計ソフトウェアにも実装があるが、Rパッケージが最も包括的である。この枠組みは、縦断データ、空間データ、多変量応答を扱うように拡張されており、統計モデリングにおける適用可能性を広げている。