El filtro de Kalman, también conocido como estimación lineal cuadrática, es un algoritmo en estadística y teoría de control que estima variables desconocidas a partir de una serie de mediciones observadas a lo largo del tiempo. Tiene en cuenta el ruido estadístico y otras inexactitudes para producir estimaciones que suelen ser más precisas que las basadas en una única medición. El filtro opera de manera recursiva estimando una distribución de probabilidad conjunta sobre las variables en cada intervalo de tiempo, y recibe su nombre en honor al ingeniero nacido en Hungría Rudolf E. Kálmán, quien introdujo el método en 1960. El filtrado de Kalman ha encontrado un uso generalizado en la guía, navegación y control de vehículos, como aeronaves, naves espaciales y barcos, así como en el análisis de series temporales, el procesamiento de señales, la econometría y la robótica. También se aplica para modelar el control del movimiento por parte del sistema nervioso central, donde compensa los retrasos entre las órdenes motoras y la retroalimentación sensorial. El algoritmo está diseñado para operar en tiempo real, utilizando únicamente la medición actual, el estado previamente calculado y su matriz de incertidumbre, sin necesidad de información pasada adicional. El filtro es óptimo bajo ciertas condiciones: si las covarianzas del proceso y de la medición son conocidas y los errores siguen una distribución gaussiana de media cero, es el mejor estimador lineal en el sentido del error cuadrático medio mínimo. Extensiones como el filtro de Kalman extendido y el filtro de Kalman sin aroma manejan sistemas no lineales, y el filtro se ha utilizado eficazmente en la fusión de múltiples sensores y en redes de sensores distribuidas. El filtro lleva el nombre de Rudolf E. Kálmán, un emigrado húngaro, aunque Thorvald Nicolai Thiele y Peter Swerling desarrollaron algoritmos similares con anterioridad. Richard S. Bucy contribuyó a la teoría, lo que dio lugar al nombre ocasional de filtro de Kalman-Bucy. Kálmán basó su derivación en variables de estado aplicadas al problema del filtrado de Wiener. La primera implementación se atribuye a Stanley F. Schmidt, quien se dio cuenta de que el filtro podía adaptarse a problemas no lineales durante una visita de Kálmán al Centro de Investigación Ames de la NASA. Esto llevó a que el filtro se incorporara a la computadora de navegación de la misión del programa Apolo, que utilizaba solo 2k de memoria RAM de núcleo magnético, 36k de memoria de cable y una velocidad de reloj inferior a 100 kHz. El filtro digital es también un caso especial de un filtro no lineal más general desarrollado por Ruslan Stratonovich, y a veces se le denomina filtro de Stratonovich-Kalman-Bucy. El método fue descrito por primera vez en artículos de Swerling (1958), Kalman (1960) y Kalman y Bucy (1961). Los filtros de Kalman han sido esenciales en los sistemas de navegación de los submarinos nucleares con misiles balísticos de la Armada de los Estados Unidos y de los misiles de crucero, así como en la guía, navegación y control de vehículos de lanzamiento reutilizables y en el acoplamiento de naves espaciales en la Estación Espacial Internacional.
Algoritmo y marco matemático
El filtro de Kalman se basa en un modelo oculto de Markov con un espacio de estados continuo, donde tanto las variables latentes como las observadas siguen distribuciones normales. El filtro estima el estado de un sistema dinámico mediante un proceso de dos fases: predicción y actualización. En la fase de predicción, el filtro utiliza el modelo dinámico del sistema y las entradas de control conocidas para proyectar el estado actual y su incertidumbre (covarianza) hacia el siguiente intervalo de tiempo. En la fase de actualización, el filtro incorpora una nueva medición, que está corrompida por ruido, para refinar la estimación. El refinamiento es un promedio ponderado, donde los pesos asignan mayor confianza a las fuentes con menor incertidumbre. Los pesos se calculan a partir de una matriz de covarianza, lo que produce una nueva estimación del estado que se encuentra entre el estado predicho y el valor medido. El filtro es recursivo, lo que permite el procesamiento en tiempo real con memoria y computación limitadas. La optimalidad del filtro radica en que, cuando los ruidos del proceso y de la medición tienen media cero y son gaussianos con covarianzas conocidas, el filtro de Kalman es el estimador de error cuadrático medio mínimo. Incluso si el ruido no es gaussiano, sigue siendo el mejor estimador lineal en el sentido del error cuadrático medio mínimo, siempre que se conozcan las medias y las covarianzas. Una idea errónea común es que el filtro requiere ruidos gaussianos, pero puede aplicarse de manera más amplia, aunque no como un estimador óptimo.
Historia y desarrollo del filtro de Kalman
El método de filtrado lleva el nombre de Rudolf E. Kálmán, quien se inspiró para aplicar variables de estado al problema del filtrado de Wiener. La teoría fue desarrollada en parte por Peter Swerling y Kalman, y Kalman y Bucy la ampliaron en 1961. Stanley F. Schmidt, que trabajaba en la guía y navegación del programa Apolo, es acreditado con la primera implementación. Dividió el filtro en dos partes: una para los intervalos entre salidas de sensores y otra para incorporar las mediciones. Esta implementación se ejecutó en la computadora de navegación del Apolo, que tenía una memoria de núcleo magnético de 2k y una memoria de cable de 36k, con una unidad central de procesamiento construida con circuitos integrados que funcionaba a menos de 100 kHz. La capacidad de ejecutar un filtro de Kalman en hardware tan limitado fue un logro de ingeniería notable. Desde entonces, el filtro ha sido esencial en la guía y navegación de los submarinos nucleares con misiles balísticos de la Armada de los Estados Unidos y de los misiles de crucero, incluido el misil Tomahawk; también se utiliza en vehículos de lanzamiento reutilizables y en el acoplamiento de naves espaciales en la Estación Espacial Internacional.
Fusión de sensores e integración multimodal
Una fortaleza clave del filtro de Kalman es su capacidad para fusionar datos de múltiples sensores, también conocida como fusión de sensores o fusión de datos. Produce una estimación del estado basada en datos de sensores ruidosos, aproximaciones en las ecuaciones del sistema y otros factores externos. El filtro maneja eficazmente la incertidumbre debida al ruido de los sensores y a perturbaciones externas aleatorias, proporcionando un método robusto para sistemas de seguimiento. Por ejemplo, en un sistema de navegación de vehículos, el filtro puede aprovechar el GPS, las lecturas de la unidad de medición inercial y los modelos para ajustar las estimaciones. En redes de sensores distribuidas, se pueden construir algoritmos de consenso que permitan a los sistemas coordinar el seguimiento descentralizado. La estimación del estado es una media ponderada del estado predicho y los estados de las mediciones, con pesos calculados a partir de la covarianza, que representa la incertidumbre. Este enfoque asegura que los datos más fiables tengan un mayor efecto en la estimación final.
Extensiones y generalizaciones
Aunque el filtro de Kalman básico está restringido a sistemas lineales con ruido gaussiano, se han desarrollado muchas extensiones para manejar no linealidades. El filtro de Kalman extendido (EKF) linealiza la dinámica del sistema y los modelos de medición mediante series de Taylor alrededor de la estimación actual, lo que permite su uso en contextos no lineales. El filtro de Kalman sin aroma (UKF) utiliza una técnica de muestreo determinista para propagar la distribución del estado a través de un sistema no lineal, logrando una mayor precisión en ciertos casos. Estos métodos se aplican en campos como la robótica, la navegación autónoma y el análisis de series temporales. Además, los filtros de Kalman se utilizan en econometría para estimar modelos de espacio de estados y en el procesamiento de señales para filtrado y predicción. En realidad, el modelo del sistema que utiliza el filtro es siempre una aproximación, y la capacidad del filtro para corregir errores mediante el paso de actualización sigue siendo importante.
Enlaces externos y referencias
El filtro de Kalman es una herramienta fundamental en las ciencias de la ingeniería y sociales, con una amplia gama de aplicaciones que incluyen la conducción autónoma, los sistemas de piloto automático y el software de navegación. Su desarrollo se inspiró en el filtro de Wiener, y su base teórica está profundamente vinculada a la teoría de control y el procesamiento de señales. En la inteligencia artificial y el aprendizaje automático, los conceptos y extensiones no lineales se integran con la estimación de estado moderna y la asimilación de datos para entrenar sistemas dinámicos. El filtro también se utiliza en el modelado del sistema nervioso central para el control motor, donde se propone como un mecanismo mediante el cual el cerebro maneja los retrasos en la retroalimentación sensorial.