层次风险平价（HRP）是一种先进的投资组合优化框架，由马科斯·洛佩斯·德·普拉多于2016年开发。它是哈里·马科维茨提出的主流均值-方差优化（MVO）框架的一种基于概率图的替代方案。HRP算法运用离散数学和机器学习技术来创建多元化且稳健的投资组合，其在样本外的表现优于MVO方法。该框架旨在解决传统投资组合构建方法的局限性，尤其是在处理高度相关资产时。自发表以来，HRP已被众多开源库实现，并获得了多项扩展。
主要特征
HRP投资组合被提出作为传统二次优化方法（包括马科维茨的临界线算法（CLA））的稳健替代方案。HRP解决了通常与二次优化器相关的三个核心问题：数值不稳定性、对少数资产的过度集中以及较差的样本外表现。
HRP利用图论和机器学习技术，仅通过协方差矩阵中嵌入的信息来构建多元化投资组合。与二次规划方法不同，HRP不要求协方差矩阵可逆。因此，即使在协方差矩阵病态或奇异的情况下（标准优化器在此类条件下会失效），HRP仍然适用。
蒙特卡洛模拟表明，尽管最小化方差是CLA的明确优化目标，但HRP实现的样本外方差低于CLA。此外，与传统风险平价方法生成的投资组合相比，HRP投资组合表现出更低的已实现风险。实证回测表明，HRP在历史上会优于传统投资组合构建技术。
HRP框架内的算法具有以下特征：
- 机器学习方法：HRP采用层次聚类（一种机器学习技术），根据资产间的相关性将相似资产分组。这使得算法能够识别投资组合的潜在层次结构，并避免错误在整个网络中传播。
- 基于风险的配置：该算法基于风险分配资本，确保资产仅与相似资产竞争投资组合中的代表权。这种方法在不同风险来源之间实现了更好的分散化，同时避免了与噪声收益估计相关的不稳定性。
- 协方差矩阵处理：与均值-方差优化等传统方法不同，HRP不需要对协方差矩阵求逆。这使其更加稳定，并适用于资产数量众多的投资组合，尤其是在协方差矩阵条件数较高的情况下。
问题：马科维茨的诅咒
投资组合构建可能是最常出现的金融问题。投资经理每天都必须构建反映其对风险和收益观点及预测的投资组合。尽管马科维茨的均值-方差框架在理论上具有优雅性，但其实际实施受到若干局限性的阻碍，这些局限性削弱了从临界线算法得出的解决方案的可靠性。一个主要关注点是最优投资组合对预期收益微小扰动的敏感性：即使是轻微的预测误差也可能导致截然不同的配置。鉴于生成准确收益预测的固有难度，许多研究人员提倡完全放弃预期收益、仅依赖资产收益协方差结构的方法。这催生了基于风险的配置方法，其中风险平价是一个被广泛引用的例子。
虽然消除收益预测在一定程度上缓解了不稳定性，但并未完全消除。投资组合优化中采用的二次规划技术需要对正定协方差矩阵求逆，这意味着所有特征值必须严格为正。当矩阵在数值上病态时，即其最大与最小特征值之比（条件数）较大时，矩阵求逆变得不可靠，并容易出现显著的数值误差。
协方差矩阵、相关矩阵或任何对称（因此可对角化）矩阵的条件数定义为最大特征值与最小特征值模之比。对角相关矩阵（等于其自身逆矩阵）表现出最小可能的条件数。
随着投资组合中相关（或多重共线性）资产数量的增加，条件数上升。在高水平下，这会导致严重的数值不稳定性，即矩阵中任何条目的微小修改可能导致逆矩阵发生剧烈变化。这种现象通常被称为马科维茨的诅咒，它概括了一个悖论：资产间相关性增加提高了对分散化的理论需求，但同时也增加了优化结果不稳定的可能性。因此，分散化的潜在收益常常被估计误差所掩盖。
随着协方差矩阵维度的增加，这些问题会加剧。每个协方差项的估计都会消耗自由度，一般来说，估计一个维度为N的非奇异协方差矩阵至少需要1/2 N(N+1)个独立同分布（IID）观测值。例如，构建一个维度为50的可逆协方差矩阵至少需要五年的每日IID观测数据。然而，经验证据表明，金融资产的相关结构在如此长的时间跨度内高度不稳定。这些困难通过以下观察得到凸显：即使是等权重投资组合等简单配置策略，在样本外测试中也经常优于均值-方差和基于风险的优化方法。
解决方案：层次风险平价
HRP算法通过三个步骤解决马科维茨的诅咒：
- 层次聚类：根据资产间的相关性将资产分组为聚类，形成层次树状结构。
- 准对角化：重新排序相关矩阵，使相似资产沿对角线排列，利用聚类树的块结构。
- 递归二分法：沿树递归分配资本，按每个聚类方差的倒数比例分割权重，确保风险在聚类和资产之间分布。
这三步过程使HRP能够绕过矩阵求逆的需求，并利用资产相关性的层次结构，从而产生更稳定和多元化的投资组合。
扩展与实现
自推出以来，HRP已被众多开源库实现，使其对从业者和研究人员可及。这些实现通常包含变体和扩展，例如整合不同的聚类算法、处理缺失数据或与其他风险管理技术集成。该框架还被扩展以解决动态投资组合再平衡问题，并纳入方差之外的替代风险度量。
HRP的多功能性使其成为量化金融中的热门选择，尤其是在传统优化器难以应对的资产数量众多的投资组合中。其对机器学习和图论的依赖与金融中人工智能和机器学习应用的更广泛趋势相一致。
接受度与影响
HRP在金融界受到好评，被视为马科维茨框架局限性的实用解决方案。其对稳健性和样本外表现的强调引起了从业者的共鸣，他们面临估计误差和市场不稳定等现实约束。该框架处理病态协方差矩阵的能力在高维环境中尤其受到重视，而传统方法在此类环境中常常失效。
尽管HRP并非没有批评者，他们指出其依赖历史相关性以及聚类中可能存在的过拟合问题，但它仍然确立了自身作为投资组合优化领域重要贡献的地位。其发展反映了金融领域向整合计算和机器学习技术的更广泛转变，这一趋势随着深度学习和生成式人工智能的进步而持续演变。
就当前知识状态而言，HRP仍是一个活跃的研究领域，持续的工作正在探索其理论基础和实践改进。其影响体现在开源工具的普及以及基于其原理不断增长的文献中。