A fatoração de matriz não negativa (NMF ou NNMF), também chamada de aproximação de matriz não negativa, é um grupo de algoritmos em análise multivariada e álgebra linear. O objetivo é fatorar uma matriz dada V em duas matrizes, geralmente denotadas por W e H, de modo que todas as três matrizes contenham apenas elementos não negativos. Essa restrição torna os fatores resultantes mais fáceis de inspecionar e interpretar, e está alinhada com aplicações em que os próprios dados são inerentemente não negativos, como espectrogramas de áudio ou medições de atividade muscular. Como uma fatoração exata geralmente não é possível, os métodos de NMF calculam uma solução aproximada numericamente.
A NMF encontrou aplicações em diversos campos, incluindo astronomia, visão computacional, agrupamento de documentos, imputação de dados ausentes, quimiometria, processamento de sinais de áudio, sistemas de recomendação e bioinformática. Seu apelo reside na capacidade de produzir representações baseadas em partes, em que os dados originais são expressos como combinações aditivas de um pequeno conjunto de componentes aprendidos.
História
O conceito de fatoração não negativa tem raízes na quimiometria, onde era conhecido há muito tempo como "resolução de curva de automodelagem". Nesse quadro, os vetores na matriz de fator à direita são tratados como curvas contínuas em vez de vetores discretos. Na década de 1990, um grupo de pesquisa finlandês desenvolveu métodos relacionados sob o nome de "fatoração de matriz positiva". A abordagem ganhou reconhecimento mais amplo como fatoração de matriz não negativa depois que Daniel D. Lee e H. Sebastian Seung investigaram suas propriedades e publicaram algoritmos simples e eficazes para dois tipos de fatoração em 1999 e 2001. Seu trabalho destacou a interpretabilidade dos fatores resultantes e despertou interesse generalizado no método.
Fundamentos
Dada uma matriz V de tamanho m × n, a NMF busca aproximá-la como o produto de duas matrizes: V ≈ W H, onde W é m × p e H é p × n. O posto p é tipicamente escolhido para ser muito menor do que m e n, de modo que a fatoração comprima os dados originais em uma representação de dimensão inferior. A multiplicação de matrizes pode ser entendida coluna a coluna: cada vetor coluna de V é uma combinação linear dos vetores coluna de W, com coeficientes dados pela coluna correspondente de H.
Por exemplo, em uma aplicação de mineração de texto, V pode ter 10.000 linhas representando palavras e 500 colunas representando documentos. Se o algoritmo for solicitado a encontrar 10 características, W será 10.000 × 10 e H será 10 × 500. Cada coluna do produto W H é então uma combinação linear dos 10 vetores de características em W, ponderados pelas entradas na coluna correspondente de H. Cada vetor de características em W pode ser interpretado como um arquétipo de documento, onde os valores das células indicam a importância de cada palavra nessa característica. Da mesma forma, cada coluna de H fornece os pesos dessas características para um documento específico, permitindo a reconstrução do documento original como uma soma ponderada dos arquétipos.
Propriedade de Agrupamento
A NMF possui uma propriedade inerente de agrupamento. Ao aproximar V por W H, o algoritmo agrupa automaticamente as colunas dos dados de entrada. A aproximação é alcançada minimizando uma função de erro, frequentemente a norma de Frobenius da diferença entre V e W H, sujeita às restrições de não negatividade em W e H. Se uma restrição adicional de ortogonalidade for imposta em H (ou seja, H Hᵀ = I), a minimização se torna matematicamente equivalente ao agrupamento K-means. Nesse caso, as entradas de H indicam diretamente a associação ao agrupamento: para uma coluna j dada, a maior entrada H_kj identifica o agrupamento ao qual o ponto de dados v_j pertence. Essa propriedade torna a NMF uma ferramenta útil para aprendizado não supervisionado e análise exploratória de dados.
Algoritmos e Computação
Vários algoritmos foram desenvolvidos para calcular a NMF. O mais amplamente utilizado é a regra de atualização multiplicativa introduzida por Lee e Seung, que atualiza iterativamente W e H enquanto preserva a não negatividade. Outras abordagens incluem mínimos quadrados alternados, métodos de gradiente projetado e variantes que incorporam restrições de esparsidade ou suavidade. A escolha do algoritmo geralmente depende do tamanho dos dados, da precisão desejada e da aplicação específica. Como o problema é não convexo, as soluções podem depender da inicialização, e múltiplas execuções com diferentes pontos de partida às vezes são usadas para obter um resultado estável.
Aplicações
A NMF é aplicada em uma ampla gama de domínios. No processamento de sinais de áudio, é usada para decompor espectrogramas em componentes espectrais, permitindo a separação de fontes ou a transcrição musical. No agrupamento de documentos e na modelagem de tópicos, a NMF identifica tópicos latentes como conjuntos de palavras, com cada documento representado como uma mistura de tópicos. Na bioinformática, ajuda a analisar dados de expressão gênica identificando padrões de genes coexpressos. Em sistemas de recomendação, a NMF pode fatorar matrizes de avaliação usuário-item para descobrir fatores latentes que preveem as preferências do usuário. Além disso, a NMF tem sido usada em visão computacional para extração de características faciais e em quimiometria para resolver sinais espectrais sobrepostos.