非负矩阵分解（NMF，或NNMF），又称非负矩阵近似，是多元分析和线性代数中的一组算法。其目标是将给定的矩阵V分解为两个矩阵（通常记为W和H），使得这三个矩阵中的所有元素均为非负值。这一约束使得分解后的因子更易于检查与解释，并且适用于数据本身具有非负性的应用场景，例如音频频谱图或肌肉活动测量。由于精确分解通常无法实现，NMF方法通过数值计算求得近似解。
NMF已在多个领域得到应用，包括天文学、计算机视觉、文档聚类、缺失数据插补、化学计量学、音频信号处理、推荐系统以及生物信息学。其吸引力在于能够生成基于部件的表示，即将原始数据表示为少量学习到的组件的加性组合。
历史
非负矩阵分解的概念源于化学计量学，在该领域中长期被称为“自建模曲线分辨”。在该框架下，右因子矩阵中的向量被视为连续曲线，而非离散向量。1990年代，一个芬兰研究小组以“正矩阵分解”为名开发了相关方法。该方法在Daniel D. Lee和H. Sebastian Seung研究其性质并提出了两种简单有效的分解算法（分别于1999年和2001年发表）后，以非负矩阵分解之名获得了更广泛的认可。他们的工作凸显了所得因子的可解释性，并引发了对该方法的广泛关注。
背景
给定一个大小为m × n的矩阵V，NMF旨在将其近似为两个矩阵的乘积：V ≈ W H，其中W的大小为m × p，H的大小为p × n。秩p通常被选择为远小于m和n的值，从而使分解将原始数据压缩为低维表示。矩阵乘法可以按列理解：V的每一列向量都是W的列向量的线性组合，其系数由H的对应列给出。
例如，在文本挖掘应用中，V可能有10,000行（代表词语）和500列（代表文档）。如果算法被要求找到10个特征，则W的大小为10,000 × 10，H的大小为10 × 500。此时，乘积W H的每一列都是W中10个特征向量的线性组合，权重由H的对应列中的条目给出。W中的每个特征向量可以被解释为一个文档原型，其中单元格值表示该词语在该特征中的重要性。类似地，H的每一列给出了这些特征对特定文档的权重，从而可以将原始文档重建为这些原型的加权和。
聚类性质
NMF具有内在的聚类性质。当通过V ≈ W H近似V时，算法会自动对输入数据的列进行聚类。该近似通过最小化误差函数（通常是V与W H之间差的Frobenius范数）来实现，同时需满足W和H的非负性约束。如果对H施加额外的正交性约束（即H Hᵀ = I），则该最小化问题在数学上等价于K均值聚类。在这种情况下，H中的条目直接指示聚类归属：对于给定的列j，最大的条目H_kj标识了数据点v_j所属的聚类。这一性质使NMF成为无监督学习和探索性数据分析的有用工具。
算法与计算
已有多种算法被开发用于计算NMF。最广泛使用的是Lee和Seung提出的乘法更新规则，该规则通过迭代更新W和H来保持非负性。其他方法包括交替最小二乘法、投影梯度法，以及引入稀疏性或平滑性约束的变体。算法的选择通常取决于数据规模、所需精度以及具体应用场景。由于该问题是非凸的，解可能依赖于初始化，因此有时会使用多次运行并采用不同初始点来获得稳定的结果。
应用
NMF已在广泛领域中得到应用。在音频信号处理中，它被用于将频谱图分解为频谱成分，从而实现源分离或音乐转录。在文档聚类和主题建模中，NMF将潜在主题识别为词语集合，并将每个文档表示为这些主题的混合。在生物信息学中，它通过识别共表达基因的模式来帮助分析基因表达数据。在推荐系统中，NMF可以分解用户-项目评分矩阵，以揭示预测用户偏好的潜在因素。此外，NMF还被用于计算机视觉中的人脸特征提取，以及化学计量学中的重叠信号分辨。