계층적 위험 패리티(HRP)는 2016년 Marcos López de Prado가 개발한 고급 투자 포트폴리오 최적화 프레임워크입니다. 이는 Harry Markowitz가 도입한 기존의 평균-분산 최적화(MVO) 프레임워크에 대한 확률적 그래프 기반 대안입니다. HRP 알고리즘은 이산 수학과 머신러닝 기법을 적용하여 표본 외(out-of-sample)에서 MVO 방법을 능가하는 다양화되고 견고한 투자 포트폴리오를 생성합니다. 이 프레임워크는 특히 상관관계가 높은 자산을 다룰 때 전통적인 포트폴리오 구성 방법의 한계를 해결하는 것을 목표로 합니다. 발표 이후 HRP는 수많은 오픈소스 라이브러리에 구현되었으며 여러 확장이 이루어졌습니다.
주요 특징
HRP 포트폴리오는 Markowitz의 임계선 알고리즘(CLA)을 포함한 전통적인 2차 최적화 방법에 대한 견고한 대안으로 제안되었습니다. HRP는 2차 최적화 도구와 일반적으로 연관된 세 가지 핵심 문제, 즉 수치적 불안정성, 소수의 자산에 대한 과도한 집중, 그리고 낮은 표본 외 성과를 해결합니다.
HRP는 그래프 이론과 머신러닝 기법을 활용하여 공분산 행렬에 내재된 정보만을 사용해 다양화된 포트폴리오를 구성합니다. 2차 계획법 방법과 달리 HRP는 공분산 행렬의 역행렬을 요구하지 않습니다. 결과적으로 HRP는 표준 최적화 도구가 실패하는 조건인 공분산 행렬이 ill-conditioned이거나 특이(singular)인 경우에도 적용 가능합니다.
몬테카를로 시뮬레이션은 분산 최소화가 CLA의 명시적 최적화 목표임에도 불구하고 HRP가 CLA보다 더 낮은 표본 외 분산을 달성함을 보여줍니다. 또한 HRP 포트폴리오는 전통적인 위험 패리티 방법론으로 생성된 포트폴리오보다 더 낮은 실현 위험을 나타냅니다. 실증적 백테스트는 HRP가 역사적으로 기존 포트폴리오 구성 기법보다 우수한 성과를 냈을 것임을 입증했습니다.
HRP 프레임워크 내의 알고리즘은 다음과 같은 특징으로 구분됩니다:
- 머신러닝 접근법: HRP는 머신러닝 기법인 계층적 군집화를 사용하여 상관관계에 따라 유사한 자산을 그룹화합니다. 이를 통해 알고리즘은 포트폴리오의 기본 계층 구조를 식별하고 오류가 전체 네트워크로 퍼지는 것을 방지할 수 있습니다.
- 위험 기반 배분: 알고리즘은 위험에 기반하여 자본을 배분하며, 자산이 포트폴리오에서 대표성을 얻기 위해 유사한 자산과만 경쟁하도록 보장합니다. 이 접근법은 노이즈가 많은 수익률 추정과 관련된 불안정성을 피하면서 다양한 위험 원천에 걸쳐 더 나은 다양화를 이끌어냅니다.
- 공분산 행렬 처리: 평균-분산 최적화와 같은 전통적인 방법과 달리 HRP는 공분산 행렬의 역행렬을 요구하지 않습니다. 이는 특히 공분산 행렬의 조건수가 높을 때 더 큰 안정성을 제공하며 많은 수의 자산을 가진 포트폴리오에 적용 가능하게 합니다.
문제: 마코위츠의 저주
포트폴리오 구성은 아마도 가장 빈번하게 발생하는 금융 문제일 것입니다. 투자 관리자는 매일 위험과 수익에 대한 자신의 견해와 예측을 통합한 포트폴리오를 구성해야 합니다. Markowitz의 평균-분산 프레임워크의 이론적 우아함에도 불구하고, 그 실질적 구현은 임계선 알고리즘에서 도출된 솔루션의 신뢰성을 훼손하는 여러 한계로 인해 방해를 받습니다. 주요 우려 사항은 기대 수익률의 작은 변동에 대한 최적 포트폴리오의 높은 민감성입니다. 사소한 예측 오류조차도 상당히 다른 배분을 초래할 수 있습니다. 정확한 수익률 예측을 생성하는 데 따르는 본질적 어려움을 고려하여, 많은 연구자들은 기대 수익률을 완전히 포기하고 자산 수익률의 공분산 구조에만 의존하는 접근법을 옹호해 왔습니다. 이는 위험 기반 배분 방법을 탄생시켰으며, 그중 위험 패리티가 널리 인용되는 예입니다.
수익률 예측을 제거하면 일부 불안정성이 완화되지만 완전히 제거되지는 않습니다. 포트폴리오 최적화에 사용되는 2차 계획법 기법은 양의 정부호(positive-definite) 공분산 행렬의 역행렬을 요구하므로 모든 고유값이 엄격히 양수여야 합니다. 행렬이 수치적으로 ill-conditioned일 때, 즉 가장 큰 고유값과 가장 작은 고유값의 비율(조건수)이 클 때, 행렬 역산은 신뢰할 수 없게 되고 상당한 수치 오류가 발생하기 쉽습니다.
공분산, 상관관계 또는 대칭(따라서 대각화 가능한) 행렬의 조건수는 절대값 기준 가장 큰 고유값과 가장 작은 고유값의 비율의 절대값으로 정의됩니다. 대각 상관관계 행렬은 자신의 역행렬과 같으며 최소 가능한 조건수를 나타냅니다.
포트폴리오에서 상관된(또는 다중공선성) 자산의 수가 증가함에 따라 조건수는 상승합니다. 높은 수준에서는 심각한 수치적 불안정성이 발생하여 행렬 항목의 약간의 수정이 극적으로 다른 역행렬을 초래할 수 있습니다. 종종 마코위츠의 저주라고 불리는 이 현상은 자산 간 상관관계 증가가 다양화의 이론적 필요성을 높이는 동시에 불안정한 최적화 결과의 가능성을 증가시키는 역설을 요약합니다. 결과적으로 다양화의 잠재적 이점은 종종 추정 오류에 의해 가려집니다.
이러한 문제는 공분산 행렬의 차원이 증가함에 따라 악화됩니다. 각 공분산 항의 추정은 자유도를 소비하며, 일반적으로 차원 N의 비특이 공분산 행렬을 추정하려면 최소 1/2 N(N+1)개의 독립적이고 동일하게 분포된(IID) 관측치가 필요합니다. 예를 들어, 차원 50의 가역 공분산 행렬을 구성하려면 최소 5년간의 일일 IID 관측치가 필요합니다. 그러나 실증적 증거는 금융 자산의 상관관계 구조가 그러한 장기간에 걸쳐 매우 불안정하다는 것을 시사합니다. 이러한 어려움은 동일 가중 포트폴리오와 같은 순진한 배분 전략조차도 표본 외 테스트에서 평균-분산 및 위험 기반 최적화를 모두 능가하는 경우가 많다는 관찰로 강조됩니다.
해결책: 계층적 위험 패리티
HRP 알고리즘은 세 단계로 마코위츠의 저주를 해결합니다:
- 계층적 군집화: 자산은 상관관계에 따라 클러스터로 그룹화되어 계층적 트리 구조를 형성합니다.
- 준대각화(Quasi-Diagonalization): 상관관계 행렬은 유사한 자산이 대각선을 따라 함께 배치되도록 재정렬되며, 군집화된 트리의 블록 구조를 활용합니다.
- 재귀적 이분법: 자본은 트리 아래로 재귀적으로 배분되며, 각 클러스터의 분산에 반비례하여 가중치를 분할하여 위험이 클러스터와 자산 전반에 분산되도록 보장합니다.
이 세 단계 프로세스를 통해 HRP는 행렬 역산의 필요성을 우회하고 자산 상관관계의 계층 구조를 활용하여 더 안정적이고 다양화된 포트폴리오를 이끌어낼 수 있습니다.
확장 및 구현
도입 이후 HRP는 수많은 오픈소스 라이브러리에 구현되어 실무자와 연구자에게 접근 가능하게 되었습니다. 이러한 구현에는 다양한 군집화 알고리즘 통합, 누락 데이터 처리, 또는 다른 위험 관리 기법과의 통합과 같은 변형 및 확장이 포함되는 경우가 많습니다. 프레임워크는 또한 동적 포트폴리오 리밸런싱을 해결하고 분산을 넘어선 대체 위험 측정치를 통합하도록 확장되었습니다.
HRP의 다용성은 특히 전통적인 최적화 도구가 어려움을 겪는 많은 수의 자산을 가진 포트폴리오에서 계량 금융의 인기 있는 선택이 되게 했습니다. 머신러닝과 그래프 이론에 대한 의존은 금융에서의 인공지능 및 머신러닝 응용의 광범위한 추세와 일치합니다.
수용 및 영향
HRP는 Markowitz 프레임워크의 한계에 대한 실용적 해결책으로 금융 커뮤니티에서 좋은 평가를 받았습니다. 견고성과 표본 외 성과에 대한 강조는 추정 오류와 시장 불안정성과 같은 실제 제약에 직면한 실무자에게 공감을 얻었습니다. ill-conditioned 공분산 행렬을 처리하는 프레임워크의 능력은 전통적인 방법이 종종 실패하는 고차원 설정에서 특히 가치 있게 평가되었습니다.
HRP는 역사적 상관관계에 대한 의존과 군집화의 과적합 가능성을 지적하는 비판자들이 없는 것은 아니지만, 그럼에도 불구하고 포트폴리오 최적화에 중요한 기여로 자리 잡았습니다. 그 개발은 금융에 계산 및 머신러닝 기법을 통합하는 방향으로의 광범위한 전환을 반영하며, 이 추세는 딥러닝 및 생성형 AI의 발전과 함께 계속 진화하고 있습니다.
현재 지식 상태 기준으로 HRP는 여전히 활발한 연구 영역이며, 이론적 기초와 실용적 개선을 탐구하는 지속적인 작업이 진행 중입니다. 그 영향은 오픈소스 도구의 확산과 그 원리를 기반으로 구축된 증가하는 문헌에서 분명하게 나타납니다.