शैप्ली मान सहकारी खेल सिद्धांत में एक समाधान अवधारणा है जो उन खिलाड़ियों के समूह के बीच कुल लाभ या लागत को निष्पक्ष रूप से वितरित करने की एक विधि प्रदान करती है जिन्होंने सहयोग किया है। लॉयड शैप्ली के नाम पर, जिन्होंने इसे 1951 में प्रस्तुत किया, यह इस प्रश्न का उत्तर देता है कि जब कोई सामूहिक परिणाम उत्पन्न होता है तो प्रत्येक भागीदार को कितना श्रेय या दोष मिलना चाहिए। यह विधि सभी संभावित गठबंधनों में प्रत्येक खिलाड़ी के औसत सीमांत योगदान की गणना करती है, जिससे एक वितरण सुनिश्चित होता है जो चार मौलिक गुणों को संतुष्ट करता है: दक्षता, समरूपता, योगात्मकता, और डमी खिलाड़ी गुण। अर्थशास्त्र में अपनी उत्पत्ति के अलावा, शैप्ली मान व्याख्येय Machine learning की आधारशिला बन गया है, जहाँ इसका उपयोग जटिल मॉडलों की भविष्यवाणियों को व्यक्तिगत इनपुट विशेषताओं को श्रेय देने के लिए किया जाता है।
मूल विचार यह मूल्यांकन करना है कि जब कोई खिलाड़ी अन्य खिलाड़ियों के प्रत्येक संभावित उपसमुच्चय में शामिल होता है तो समग्र परिणाम कैसे बदलता है, फिर इन परिवर्तनों का औसत सभी उपसमुच्चयों और सभी संभावित शामिल होने के क्रमों पर लिया जाता है। यह दृष्टिकोण खिलाड़ियों के बीच अंतःक्रियाओं को ध्यान में रखता है, यह पहचानते हुए कि योगदान इस पर निर्भर हो सकता है कि गठबंधन में पहले से कौन है। क्योंकि यह एकमात्र वितरण नियम है जो एक साथ चार स्वयंसिद्ध गुणों को संतुष्ट करता है, इसे अक्सर सहकारी लाभों को विभाजित करने का अद्वितीय निष्पक्ष तरीका बताया जाता है।
परिभाषा
एक गठबंधन खेल में, खिलाड़ियों का एक समुच्चय \(N\) गठबंधन \(S \subseteq N\) बना सकता है, और एक मान फलन \(v(S)\) कुल भुगतान निर्धारित करता है जो \(S\) के सदस्य सहयोग करके प्राप्त कर सकते हैं। खिलाड़ी \(i\) के लिए शैप्ली मान सूत्र द्वारा दिया गया है:
\[\varphi_i(v) = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|! (n - |S| - 1)!}{n!} (v(S \cup \{i\}) - v(S))\]
जहाँ \(n\) खिलाड़ियों की कुल संख्या है। पद \(v(S \cup \{i\}) - v(S)\) गठबंधन \(S\) में खिलाड़ी \(i\) का सीमांत योगदान है। संयोजक भार \(\frac{|S|! (n - |S| - 1)!}{n!}\) उन क्रमचयों की संख्या को ध्यान में रखता है जिनमें \(S\) के खिलाड़ी \(i\) से पहले आते हैं और शेष खिलाड़ी बाद में आते हैं। एक समतुल्य सूत्रीकरण सभी \(n!\) संभावित क्रमों पर सीमांत योगदान का औसत लेता है, जहाँ \(P_i^R\) क्रम \(R\) में \(i\) से पहले आने वाले खिलाड़ियों के समुच्चय को दर्शाता है:
\[\varphi_i(v) = \frac{1}{n!} \sum_R \left[ v(P_i^R \cup \{i\}) - v(P_i^R) \right]\]
यह व्याख्या कल्पना करती है कि गठबंधन एक समय में एक खिलाड़ी जोड़कर बनता है, प्रत्येक खिलाड़ी को उनके सीमांत योगदान के रूप में मुआवजा मिलता है, और फिर सभी संभावित गठन अनुक्रमों पर औसत लिया जाता है।
स्वयंसिद्ध गुण
शैप्ली मान अद्वितीय रूप से चार स्वयंसिद्धों द्वारा विशेषता है, जिन्हें व्यापक रूप से निष्पक्ष वितरण को परिभाषित करने के रूप में स्वीकार किया जाता है:
- दक्षता: सभी खिलाड़ियों के शैप्ली मानों का योग महागठबंधन के कुल मान के बराबर होता है, \(\sum_{i \in N} \varphi_i(v) = v(N)\)। यह सुनिश्चित करता है कि कोई मान खोया या निर्मित नहीं होता है।
- समरूपता: यदि दो खिलाड़ी \(i\) और \(j\) हर गठबंधन में समान रूप से योगदान करते हैं (अर्थात, \(v(S \cup \{i\}) = v(S \cup \{j\})\) सभी \(S\) के लिए जिनमें कोई भी शामिल नहीं है), तो उन्हें समान हिस्से मिलते हैं।
- योगात्मकता: दो खेलों \(v\) और \(w\) के लिए, संयुक्त खेल \(v+w\) का शैप्ली मान व्यक्तिगत शैप्ली मानों का योग होता है, \(\varphi_i(v+w) = \varphi_i(v) + \varphi_i(w)\)। यह गुण जटिल समस्याओं के अपघटन का समर्थन करता है।
- डमी खिलाड़ी: यदि कोई खिलाड़ी \(i\) किसी गठबंधन में कोई मान नहीं जोड़ता है (अर्थात, \(v(S \cup \{i\}) = v(S)\) सभी \(S\) के लिए), तो उनका शैप्ली मान शून्य होता है।
ये स्वयंसिद्ध शैप्ली के 1951 के पेपर में औपचारिक रूप से प्रस्तुत किए गए थे और बाद में उनके 1953 के प्रकाशन में परिष्कृत किए गए। वे सुनिश्चित करते हैं कि मान मनमाना नहीं है बल्कि उचित निष्पक्षता मानदंडों से अनुसरण करता है।
अर्थशास्त्र और व्यवसाय में अनुप्रयोग
सहकारी खेल सिद्धांत में, शैप्ली मान का उपयोग विभिन्न आर्थिक परिदृश्यों में लागत और लाभ आवंटित करने के लिए किया गया है। उदाहरण के लिए, एक व्यावसायिक साझेदारी में, साझेदार इसका उपयोग विभिन्न परियोजना संयोजनों में उनके सीमांत योगदान के आधार पर लाभ विभाजित करने के लिए कर सकते हैं। इसे संयुक्त उद्यमों में लागत आवंटन पर लागू किया गया है, जैसे कई उपयोगकर्ताओं के बीच साझा बुनियादी ढांचे की लागत साझा करना। आपूर्ति श्रृंखला प्रबंधन में, यह घटकों के लिए उचित मूल्य निर्धारित करने में मदद करता है जब फर्म अंतिम उत्पाद का उत्पादन करने के लिए सहयोग करती हैं। यह विधि मतदान शक्ति विश्लेषण में भी उपयोग की जाती है, जहाँ यह भारित मतदान प्रणाली में प्रत्येक मतदाता के प्रभाव को मापती है, हालाँकि निकट से संबंधित बैंज़ाफ शक्ति सूचकांक को कभी-कभी उस संदर्भ में पसंद किया जाता है।
मशीन लर्निंग में शैप्ली मान
Machine learning में, शैप्ली मान को मॉडलों की व्यक्तिगत भविष्यवाणियों को समझाने के लिए अनुकूलित किया गया है, एक क्षेत्र जिसे विशेषता आरोपण कहा जाता है। खिलाड़ी इनपुट विशेषताएँ हैं, और मान फलन \(v(S)\) मॉडल की भविष्यवाणी है जब केवल उपसमुच्चय \(S\) में विशेषताएँ ज्ञात होती हैं, आमतौर पर अन्य विशेषताओं को हाशिये पर रखकर। एक विशेषता का शैप्ली मान भविष्यवाणी में उसके औसत योगदान को मापता है, सभी अन्य विशेषताओं के साथ अंतःक्रियाओं को ध्यान में रखते हुए। यह दृष्टिकोण मॉडल-अज्ञेय है, जिसका अर्थ है कि इसे किसी भी भविष्यवाणी मॉडल पर लागू किया जा सकता है, जिसमें Deep learning नेटवर्क, Neural network समूह, और Large language model प्रणालियाँ शामिल हैं।
एक प्रमुख व्यावहारिक कार्यान्वयन SHAP (SHapley Additive exPlanations) है, जिसे स्कॉट लुंडबर्ग और सु-इन ली ने 2017 में प्रस्तुत किया। SHAP जटिल मॉडलों के लिए शैप्ली मानों का अनुमान लगाने के लिए कुशल एल्गोरिदम प्रदान करता है, क्योंकि सटीक गणना विशेषताओं की संख्या में घातीय होती है। यह विधि मॉडल व्याख्येयता के लिए एक मानक उपकरण बन गई है, जो डेटा वैज्ञानिकों और नियामकों को यह समझने में मदद करती है कि मॉडल ने एक विशेष निर्णय क्यों लिया।
कम्प्यूटेशनल चुनौतियाँ और सन्निकटन
सटीक शैप्ली मान के लिए \(2^n\) उपसमुच्चयों पर योग की आवश्यकता होती है, जो कई विशेषताओं वाले मॉडलों के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से असंभव है। 30 विशेषताओं वाले मॉडल के लिए, एक अरब से अधिक संभावित गठबंधन हैं। कई सन्निकटन तकनीकें विकसित की गई हैं:
- मोंटे कार्लो नमूनाकरण: यादृच्छिक रूप से क्रमचय या उपसमुच्चय नमूना लें और सीमांत योगदान का औसत लें। यह नियंत्रणीय विचरण के साथ एक निष्पक्ष अनुमान प्रदान करता है।
- SHAP के साथ TreeSHAP: वृक्ष-आधारित मॉडलों जैसे रैंडम फॉरेस्ट और ग्रेडिएंट बूस्टिंग के लिए, TreeSHAP वृक्ष संरचना का दोहन करके बहुपद समय में सटीक शैप्ली मानों की गणना करता है।
- KernelSHAP: एक मॉडल-अज्ञेय विधि जो शैप्ली मानों का अनुमान लगाने के लिए भारित रैखिक प्रतिगमन का उपयोग करती है, जिसे अक्सर ब्लैक-बॉक्स मॉडलों के लिए उपयोग किया जाता है।
- ग्रेडिएंट-आधारित विधियाँ: विभेदनीय मॉडलों के लिए, ग्रेडिएंट का उपयोग करके सन्निकटन की गणना की जा सकती है, हालाँकि ये सभी स्वयंसिद्धों को सटीक रूप से संतुष्ट नहीं कर सकते हैं।
इन सन्निकटनों ने शैप्ली मानों को वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों के लिए व्यावहारिक बना दिया है, जिसमें क्रेडिट स्कोरिंग, चिकित्सा निदान, और प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण शामिल हैं।
अन्य आरोपण विधियों से संबंध
शैप्ली मान की तुलना अक्सर अन्य विशेषता आरोपण तकनीकों से की जाती है। सरल विधियों जैसे क्रमचय महत्व या ग्रेडिएंट-आधारित सैलिएंसी मानचित्रों के विपरीत, शैप्ली मान विशेषता अंतःक्रियाओं को ध्यान में रखते हैं और दक्षता गुण को संतुष्ट करते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि आरोपण मॉडल के आउटपुट तक जुड़ते हैं। हालाँकि, यह हाशिये पर रखते समय विशेषताओं को स्वतंत्र मानता है, जो अत्यधिक सहसंबद्ध विशेषताओं के मामले में अवास्तविक नमूने उत्पन्न कर सकता है। LIME (Local Interpretable Model-agnostic Explanations) जैसे विकल्प तेज़ हैं लेकिन समान स्वयंसिद्ध गुणों की गारंटी नहीं देते हैं। सहकारी खेल सिद्धांत में, शैप्ली मान कई समाधान अवधारणाओं में से एक है, जिसमें न्यूक्लियोलस और कोर शामिल हैं, लेकिन यह एकमात्र है जो एक साथ सभी चार स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।
विस्तार और प्रकार
विभिन्न संदर्भों के लिए शैप्ली मान के कई विस्तार प्रस्तावित किए गए हैं। भारित शैप्ली मान खिलाड़ियों को अलग-अलग भार रखने की अनुमति देता है, जो असमान सौदेबाजी शक्ति को दर्शाता है। शैप्ली-शुबिक शक्ति सूचकांक मान को मतदान खेलों पर लागू करता है, जो संभावना को मापता है कि एक खिलाड़ी निर्णायक है। मशीन लर्निंग में, शैप्ली अंतःक्रिया सूचकांक जैसे प्रकार कुल आरोपण को मुख्य प्रभावों और विशेषताओं के बीच अंतःक्रिया प्रभावों में विघटित करते हैं। समय श्रृंखला डेटा के लिए, गतिशील शैप्ली मान अस्थायी निर्भरताओं को ध्यान में रखते हैं। ये विस्तार निष्पक्ष सीमांत योगदान औसत के मूल विचार को संरक्षित करते हुए विशिष्ट समस्या संरचनाओं के अनुकूल होते हैं।
सीमाएँ और आलोचनाएँ
अपनी सैद्धांतिक अपील के बावजूद, शैप्ली मान की सीमाएँ हैं। मशीन लर्निंग अनुप्रयोगों में विशेषता स्वतंत्रता की धारणा सहसंबद्ध विशेषताओं के मामले में भ्रामक आरोपण उत्पन्न कर सकती है। घातीय कम्प्यूटेशनल लागत, सन्निकटन के साथ भी, बहुत उच्च-आयामी डेटा के लिए निषेधात्मक हो सकती है। इसके अतिरिक्त, भविष्यवाणी मॉडलों में मान फलन हमेशा अच्छी तरह से परिभाषित नहीं होता है, क्योंकि विशेषताओं को हाशिये पर रखने के लिए विशेषता स्थान पर एक वितरण की आवश्यकता होती है, जो ज्ञात नहीं हो सकता है। आलोचकों का तर्क है कि स्वयंसिद्ध गुण, हालाँकि सुरुचिपूर्ण हैं, व्यावहारिक परिदृश्यों में निष्पक्षता की मानवीय धारणाओं के साथ हमेशा संरेखित नहीं हो सकते हैं। फिर भी, शैप्ली मान खेल सिद्धांत और व्याख्येय AI दोनों में एक मौलिक अवधारणा बना हुआ है, जिसमें इन चुनौतियों को संबोधित करने वाले सक्रिय शोध हैं।
ऐतिहासिक संदर्भ
लॉयड शैप्ली ने 1951 में RAND कॉर्पोरेशन में रहते हुए मान प्रस्तुत किया, और इसे औपचारिक रूप से 1953 में प्रकाशित किया गया। उनका काम सहकारी खेल सिद्धांत में पहले के विचारों पर आधारित था, विशेष रूप से जॉन वॉन न्यूमैन और ऑस्कर मॉर्गनस्टर्न के काम पर। शैप्ली को बाद में 2012 में खेल सिद्धांत में उनके योगदान के लिए एल्विन रोथ के साथ संयुक्त रूप से आर्थिक विज्ञान में नोबेल मेमोरियल पुरस्कार मिला। मशीन लर्निंग में शैप्ली मान का अपनाना 2010 के दशक में शुरू हुआ, जो AI प्रणालियों के अधिक जटिल होने के साथ मॉडल व्याख्येयता की आवश्यकता से प्रेरित था। आज, यह डेटा वैज्ञानिकों के टूलकिट में एक मानक उपकरण है और SHAP और scikit-learn जैसी प्रमुख लाइब्रेरियों में लागू किया गया है।