स्थान, पैमाने और आकार के लिए सामान्यीकृत योगात्मक मॉडल (GAMLSS) एक सांख्यिकीय मॉडलिंग ढांचा है जो सामान्यीकृत योगात्मक मॉडल (GAM) का विस्तार करता है, जिससे प्रतिक्रिया चर के वितरण के सभी मापदंडों - केवल माध्य नहीं - को भविष्यवक्ता चर के सुचारू कार्यों के रूप में मॉडल किया जा सकता है। 2005 में आर. ए. रिग्बी और डी. एम. स्टैसिनोपोलोस द्वारा विकसित, GAMLSS प्रतिगमन विश्लेषण के लिए एक लचीला दृष्टिकोण प्रदान करता है जब प्रतिक्रिया चर गैर-सामान्य वितरण का पालन करता है या विषमलैंगिकता, तिरछापन, या कर्टोसिस प्रदर्शित करता है जिसे पारंपरिक केवल-माध्य मॉडल द्वारा कैप्चर नहीं किया जा सकता है।
यह ढांचा मानता है कि प्रतिक्रिया चर एक पैरामीट्रिक वितरण का पालन करता है, और प्रत्येक वितरण पैरामीटर (जैसे, स्थान, पैमाना, आकार) एक मोनोटोनिक लिंक फ़ंक्शन के माध्यम से एक रैखिक भविष्यवक्ता से जुड़ा होता है। रैखिक भविष्यवक्ता रैखिक शर्तों, बहुपद शर्तों, स्मूथिंग स्प्लाइन, यादृच्छिक प्रभाव, और अन्य योगात्मक घटकों को शामिल कर सकते हैं। अनुमान आमतौर पर एक दंडित संभावना दृष्टिकोण का उपयोग करके किया जाता है, अक्सर आरएस (रिग्बी और स्टैसिनोपोलोस) या सीजी (कोल और ग्रीन) एल्गोरिदम के साथ, जो सुचारू शर्तों की खुरदरापन को दंडित करते हुए संभावना को पुनरावृत्त रूप से अधिकतम करते हैं।
मॉडल विनिर्देश
GAMLSS में, प्रतिक्रिया चर \(Y\) को एक वितरण फ़ंक्शन \(F_Y(y|\theta)\) माना जाता है, जहां \(\theta = (\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_p)\) \(p\) वितरण मापदंडों का एक वेक्टर है। प्रत्येक पैरामीटर \(\theta_k\) के लिए, एक मॉडल निम्नानुसार निर्दिष्ट किया गया है:
\[ g_k(\theta_k) = \eta_k = X_k \beta_k + \sum_{j=1}^{J_k} s_{kj}(x_{kj}) \]
जहां \(g_k\) एक मोनोटोनिक लिंक फ़ंक्शन है, \(X_k\) निश्चित प्रभावों के लिए एक डिज़ाइन मैट्रिक्स है, \(\beta_k\) गुणांक हैं, और \(s_{kj}\) सहसंयोजकों \(x_{kj}\) के सुचारू कार्य हैं। मापदंडों की संख्या \(p\) चुने गए वितरण पर निर्भर करती है; उदाहरण के लिए, एक सामान्य वितरण में दो पैरामीटर होते हैं (माध्य और मानक विचलन), जबकि एक बॉक्स-कॉक्स टी वितरण में चार होते हैं (स्थान, पैमाना, तिरछापन, और कर्टोसिस)।
अनुमान और एल्गोरिदम
GAMLSS के मापदंडों का अनुमान एक दंडित संभावना फ़ंक्शन को अधिकतम करके लगाया जाता है। दंड शर्तें योगात्मक कार्यों की चिकनाई को नियंत्रित करती हैं, अति-फिटिंग को रोकती हैं। दो प्राथमिक एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है:
- आरएस एल्गोरिदम: GAM के लिए बैकफिटिंग एल्गोरिदम का एक सामान्यीकरण, जो मापदंडों के माध्यम से चक्रित होता है, प्रत्येक को अपडेट करता है जबकि दूसरों को स्थिर रखता है। यह उन वितरणों के लिए उपयुक्त है जहां पैरामीटर ऑर्थोगोनल या लगभग ऐसे होते हैं।
- सीजी एल्गोरिदम: न्यूटन-राफसन विधि पर आधारित, जो सभी मापदंडों को एक साथ अपडेट करता है। यह सहसंबंधित मापदंडों वाले वितरणों के लिए अधिक कुशल है लेकिन कम स्थिर हो सकता है।
दोनों एल्गोरिदम अकाइक सूचना मानदंड (AIC) या सामान्यीकृत क्रॉस-सत्यापन (GCV) जैसे मानदंडों का उपयोग करके स्मूथिंग मापदंडों के स्वचालित चयन की अनुमति देते हैं। आर प्रोग्रामिंग भाषा में gamlss पैकेज इन विधियों का एक व्यापक कार्यान्वयन प्रदान करता है, जिसमें वितरण और योगात्मक शर्तों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल है।
अनुप्रयोग
GAMLSS को विविध क्षेत्रों में लागू किया गया है जहां प्रतिक्रिया चर गैर-स्थिर विचरण या गैर-सामान्य आकार प्रदर्शित करते हैं। चिकित्सा में, उनका उपयोग विकास चार्ट और संदर्भ अंतराल बनाने के लिए किया जाता है, जहां मापों का वितरण (जैसे, बॉडी मास इंडेक्स, रक्तचाप) उम्र के साथ बदलता है। वित्त में, वे अस्थिरता और जोखिम उपायों को मॉडल करते हैं जो बाजार की स्थितियों के साथ बदलते हैं। पारिस्थितिकी में, वे अति-फैलाव या शून्य-मुद्रास्फीति के साथ प्रजातियों की बहुतायत डेटा का विश्लेषण करते हैं। पैमाने और आकार मापदंडों को मॉडल करने की लचीलापन GAMLSS को क्वांटाइल प्रतिगमन और भारी पूंछ या असममित वितरण वाले डेटा का विश्लेषण करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी बनाती है।
अन्य मॉडलों से संबंध
GAMLSS कई मौजूदा मॉडलों को सामान्यीकृत करता है। जब केवल स्थान पैरामीटर को मॉडल किया जाता है और वितरण को स्थिर विचरण के साथ सामान्य माना जाता है, GAMLSS एक मानक GAM में कम हो जाता है। यदि योगात्मक शर्तें रैखिक हैं, तो यह स्थान, पैमाने और आकार के लिए एक सामान्यीकृत रैखिक मॉडल (GLM) बन जाता है। ढांचा वितरणात्मक प्रतिगमन को भी शामिल करता है, जहां एक वितरण के सभी मापदंडों को सहसंयोजकों पर प्रतिगमित किया जाता है। यह आधुनिक मशीन लर्निंग दृष्टिकोणों जैसे डीप लर्निंग और तंत्रिका नेटवर्क से जुड़ता है, जो वितरण मापदंडों को भी मॉडल कर सकते हैं, हालांकि GAMLSS व्याख्या और सांख्यिकीय अनुमान गुणों को बनाए रखता है।
सॉफ्टवेयर और कार्यान्वयन
GAMLSS के लिए प्राथमिक सॉफ्टवेयर आर में gamlss पैकेज है, जो पहली बार 2005 में जारी किया गया था और लगातार अपडेट किया जाता है। इसमें मॉडल फिटिंग, निदान और विज़ुअलाइज़ेशन के लिए फ़ंक्शन शामिल हैं, साथ ही वितरण और स्मूथिंग शर्तों के चयन के लिए भी। पैकेज बड़ी संख्या में वितरणों का समर्थन करता है, जिसमें निरंतर, असतत और मिश्रित प्रकार शामिल हैं। पायथन और अन्य सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर में अन्य कार्यान्वयन मौजूद हैं, लेकिन आर पैकेज सबसे व्यापक बना हुआ है। ढांचे को अनुदैर्ध्य डेटा, स्थानिक डेटा और बहुभिन्नरूपी प्रतिक्रियाओं को संभालने के लिए विस्तारित किया गया है, जिससे सांख्यिकीय मॉडलिंग में इसकी प्रयोज्यता व्यापक हो गई है।