La factorización de matrices no negativas (NMF o NNMF), también conocida como aproximación de matrices no negativas, es un grupo de algoritmos en análisis multivariante y álgebra lineal. El objetivo es factorizar una matriz dada V en dos matrices, típicamente denotadas como W y H, de modo que las tres matrices contengan únicamente elementos no negativos. Esta restricción hace que los factores resultantes sean más fáciles de inspeccionar e interpretar, y se alinea con aplicaciones donde los datos son inherentemente no negativos, como espectrogramas de audio o mediciones de actividad muscular. Dado que una factorización exacta generalmente no es posible, los métodos NMF calculan una solución aproximada numéricamente.
NMF ha encontrado aplicaciones en diversos campos, incluyendo astronomía, visión por computadora, agrupamiento de documentos, imputación de datos faltantes, quimiometría, procesamiento de señales de audio, sistemas de recomendación y bioinformática. Su atractivo radica en su capacidad para producir representaciones basadas en partes, donde los datos originales se expresan como combinaciones aditivas de un pequeño conjunto de componentes aprendidos.
Historia
El concepto de factorización no negativa tiene raíces en la quimiometría, donde se conocía durante mucho tiempo como "resolución de curvas de automodelado". En ese marco, los vectores en la matriz del factor derecho se tratan como curvas continuas en lugar de vectores discretos. En la década de 1990, un grupo de investigación finlandés desarrolló métodos relacionados bajo el nombre de "factorización de matrices positivas". El enfoque ganó un reconocimiento más amplio como factorización de matrices no negativas después de que Daniel D. Lee y H. Sebastian Seung investigaran sus propiedades y publicaran algoritmos simples y efectivos para dos tipos de factorización en 1999 y 2001. Su trabajo destacó la interpretabilidad de los factores resultantes y despertó un interés generalizado en el método.
Antecedentes
Dada una matriz V de tamaño m × n, NMF busca aproximarla como el producto de dos matrices: V ≈ W H, donde W es m × p y H es p × n. El rango p se elige típicamente para que sea mucho menor que tanto m como n, de modo que la factorización comprima los datos originales en una representación de menor dimensión. La multiplicación de matrices puede entenderse por columnas: cada vector columna de V es una combinación lineal de los vectores columna de W, con coeficientes dados por la columna correspondiente de H.
Por ejemplo, en una aplicación de minería de texto, V podría tener 10,000 filas que representan palabras y 500 columnas que representan documentos. Si se pide al algoritmo encontrar 10 características, W será de 10,000 × 10 y H será de 10 × 500. Cada columna del producto W H es entonces una combinación lineal de los 10 vectores de características en W, ponderados por las entradas en la columna correspondiente de H. Cada vector de características en W puede interpretarse como un arquetipo de documento, donde los valores de las celdas indican la importancia de cada palabra en esa característica. De manera similar, cada columna de H da los pesos de estas características para un documento específico, permitiendo reconstruir el documento original como una suma ponderada de los arquetipos.
Propiedad de agrupamiento
NMF posee una propiedad de agrupamiento inherente. Al aproximar V por W H, el algoritmo agrupa automáticamente las columnas de los datos de entrada. La aproximación se logra minimizando una función de error, a menudo la norma de Frobenius de la diferencia entre V y W H, sujeta a las restricciones de no negatividad en W y H. Si se impone una restricción adicional de ortogonalidad sobre H (es decir, H Hᵀ = I), la minimización se vuelve matemáticamente equivalente al agrupamiento K-means. En este caso, las entradas de H indican directamente la pertenencia a un grupo: para una columna dada j, la entrada más grande H_kj identifica el grupo al que pertenece el punto de datos v_j. Esta propiedad hace que NMF sea una herramienta útil para el aprendizaje no supervisado y el análisis exploratorio de datos.
Algoritmos y cálculo
Se han desarrollado varios algoritmos para calcular NMF. El más utilizado es la regla de actualización multiplicativa introducida por Lee y Seung, que actualiza iterativamente W y H preservando la no negatividad. Otros enfoques incluyen mínimos cuadrados alternantes, métodos de gradiente proyectado y variantes que incorporan restricciones de dispersión o suavidad. La elección del algoritmo a menudo depende del tamaño de los datos, la precisión deseada y la aplicación específica. Debido a que el problema no es convexo, las soluciones pueden depender de la inicialización, y a veces se utilizan múltiples ejecuciones con diferentes puntos de partida para obtener un resultado estable.
Aplicaciones
NMF se aplica en una amplia gama de dominios. En el procesamiento de señales de audio, se utiliza para descomponer espectrogramas en componentes espectrales, permitiendo la separación de fuentes o la transcripción musical. En el agrupamiento de documentos y el modelado de temas, NMF identifica temas latentes como conjuntos de palabras, con cada documento representado como una mezcla de temas. En bioinformática, ayuda a analizar datos de expresión génica para identificar patrones de genes coexpresados. En sistemas de recomendación, NMF puede factorizar matrices de calificaciones usuario-artículo para descubrir factores latentes que predicen las preferencias del usuario. Además, NMF se ha utilizado en visión por computadora para la extracción de características faciales y en quimiometría para resolver espectros superpuestos.